电磁场与电磁波电子教案1

电磁场与电磁波（第四版）教案第一章矢量分析主要内容1、矢量分析基础2、矢量场的散度3、矢量场的旋度4、标量场的梯度5、亥姆霍兹定理1、1矢量分析与场论基础一、矢量与矢量场1、标量与矢量标量：只有大小、没有方向的物理量（如温度、高度等），用它的大小就能完整地描述物理量矢量：既有大小、又有方向的物理量（如力、电场强度等）2、矢量的表示方式（1）数学表示neAAˆ1ˆ0为表征矢量的方向，大小单位矢量，），（模值，表征矢量的大小AAeAn（2）图形表示：带有箭头的线段，线段的长度A，A箭头表示A的方向空矢（零矢）：唯一不能用箭头表示的矢量。3、标量场与矢量场场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场等）在空间以某种形式分布，若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值（）（或trFtr,),(），则称在该空间中确定了该物理量的场。场的属性：占有一个空间，）（或trFtr,),(在该空间区域内处处连续（除有限点或表面外）。场的分类：按物理量的性质,(,)rtFrt标量场，物理量为标量，即每点单纯用一个代数量表示（）矢量场，物理量为矢量，按物理量变化特性的变化而变化时变场，物理量随时间）（间的变化而变化静态场，物理量不随时r二、矢量的运算（以直角坐标系为例）zzyyxxzzyyxxBeBeBeBAeAeAeAˆˆˆˆˆˆ1、矢量的加、减法说明：（1）矢量的加法符合交换律和结合律CBACBAABBA)()(,（2）矢量的加法和减法可用平行四边形法则求解ABABBBAA2、矢量的乘法（1）矢量与标量相乘AkekAekAekAeAkAzzyyxxˆˆˆ反向与同向与AAkkAAkk,0,0（2）矢量与矢量点乘zzyyxxABBABABABABAcosABABABABABAABBAcos02,0上的投影在，平行与最大值AB点积说明：a、两个矢量的点积为标量b、矢量的点积符合交换律和分配律CABACBAABBA)(（3）矢量与矢量叉乘（矢量积）)(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆˆsinˆxyyxzzxxzyyzzyxzyxzyxzyxABnBABAeBABAeBABAeBBBAAAeeeABeBA说明：a、两个矢量的叉积为矢量b、矢量的叉乘不符和交换律，但符合分配律ABBACABACBAABBA)(c、BA平行四边形面积，方向：垂直于BA、所在的平面d、矢量运算恒等式三重矢量积三重标量积)()()()()()(BACCABCBABACACBCBA三、常用正交坐标系1、直角坐标系（略讲）基本变量：,,xyz),(单位矢量：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,xyzxyzyzxzxyeeeeeeeeeeeezyxeeeˆˆˆ、、分别代表zyx、、增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则矢量表示：zzyyxxAeAeAeAˆˆˆ位置矢量：zeyexerzyxˆˆˆ微分长度元：dzedyedxerdzyxˆˆˆ面元：dxdydsdxdzdsdydzdszyx,,体元：dxdydzdv拉梅系数：各方向的微分元与各自坐标的微分之比1,1,1dzdzhdydyhdxdxhzyx矢量运算：（见前）2、圆柱坐标系基本变量：zz,20,0,,单位矢量：eeeeeeeeeeeezzzzˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆ,ˆzeeeˆˆˆ、、分别代表z、、增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则矢量表示：zzAeAeAeAˆˆˆ位置矢量：zeerzˆˆ微分长度元：dzededezededrdzzˆˆˆ)ˆ()ˆ(面元：dddsdzddsdzddsz,,体元：dzdddv拉梅系数：1,,1dzdzhddhddhz（第一次课完2.25）说明：（1）圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系zzyxyxeeeeeeeezzyxˆˆ,cosˆsinˆˆ,sinˆcosˆˆ,sin,cos由于eeˆˆ、不是常矢量，与有关，可得eeeeeeeeyxyxˆsinˆcosˆˆˆcosˆsinˆˆ（2）圆柱坐标系下矢量运算zzzzBeBeBeBAeAeAeAˆˆˆˆˆˆzzzzzBABABABABAeBAeBAeBA)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆˆBABAeBABAeBABAeBBBAAAeeeBAzzzzZzzz3、球面坐标系基本变量：20,0,0,,rr单位矢量：eeeeeeeeeeeerrrrˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆ,ˆ矢量表示：AeAeAeArrˆˆˆ位置矢量：rerrˆ微分长度元：drerdedreerddreerdrdrrrrsinˆˆˆˆˆ)ˆ(面元：rdrddsdrdrdsddrdsr,sin,sin2体元：ddrdrdvsin2拉梅系数：sin,,1rhrhhr说明：（1）球面坐标系与直角坐标系的变换关系zzyxzyxzyxreeeeeeeeeeeeerzryrxˆˆcosˆsinˆˆsinˆsincosˆcoscosˆˆcosˆsinsinˆsinsinˆˆcos,sinsin,cossin由于eeerˆˆˆ、、不是常矢量，与、有关，可得cosˆsinˆˆ0ˆcosˆˆˆˆsinˆˆˆˆeeeeeeeeeeeerrrr（2）球面坐标系下矢量运算BeBeBeBAeAeAeArrrrˆˆˆˆˆˆBABABABABAeBAeBAeBArrrrr)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆˆrrrrrrrrBABAeBABAeBABAeBBBAAAeeeBA1.2标量场的梯度一、等值面（线）1、由场值相等的点构成的面（线），即为等值面（线），等位面、等高线等即若标量函数为),,(zyxuu，则等值面方程为2、特点：标量场中有无穷多个互不相交的等值面。是单值的函数）等值面互不相交的空间）等值面族充满场所在可取不同值常数等值面族uC32)1二、方向导数在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变化的规律。取等位面u和uu如图，1、定义：lMuMulinlulM)()(0002、意义：00Mlu标量场u在0M处沿l方向增加率；00Mlu标量场u在0M处沿l方向减小率；00Mlu场u在0M处沿l方向为等值面方向（无改变）。4、计算：直角坐标系：方向的方向余旋ldldzzudldyyudldxxulucoscoscos三、梯度1、定义maxˆ),,(leluzyxgraduleˆ为场量u变化率最大的方向上的单位矢量。由方向导数的定义可知，沿等uuMNˆneˆle0Mu值面法线ˆne的方向导数最大，故ˆnugraduel2、特性（1）标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数；（2）标量场的梯度的幅值表示标量场的最大增加率；（3）标量场的梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向；（4）标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影。3、计算由梯度的定义及标量场方向导数的概念可推知直角坐标系：uuezeyexezueyuexugraduzyxzyx)ˆˆˆ(ˆˆˆ：哈密顿算符圆柱坐标系：)ˆ1ˆˆ(zeeez球面坐标系：)sin1ˆ1ˆˆ(rererer5、梯度的重要性质0u例1.3.11、3矢量场的通量散度一、矢量线（力线）1、力线：矢量在空间的形象描述2、特点：矢量线的疏密程度表征矢量场的大小矢量线上每点的切线方向代表该处矢量场的方向。3、微分方程：力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同在场中找一点),,(zyxM，矢径zeyexerzyxˆˆˆ微分元dzedyedxerdzyxˆˆˆ在点M处与矢量线相切，即在点M处)(rFrd与共线，即0)(rFrd直角坐标系zyxFdzFdyFdx例1．4．1（略）二、矢量场的通量为了克服矢量线不能定量描述矢量场大小的问题，引入通量的概念。若矢量场)(rF分布于空间，在空间中存在任意曲面S，则定义ssdrF)(为矢量)(rF沿曲面S的通量，若S为闭合曲面，则sdrFs)(物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。讨论：（1）面元矢量sd定义：面积很小的有向曲面dsesdnˆ：面元面积，为微分量，其值可认为无限小neˆ：面元法线方向，垂直面元平面neˆ的确定方法：对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定；对闭合曲面：闭合面外法线方向。（2）ssnsdsFdseFsdrFcosˆ)(（3）物理意义：若0，穿出多于穿入，闭合面内有发出矢量线的正源；若0，穿出少于穿入，闭合面内有汇集矢量线的负源（沟）；若0，穿出等于穿入，闭合面内无源，或正负源代数和相等。三、矢量场的散度（场中每一点的通量特性）1、散度的定义在场空间)(rF中任意点M处作一个闭合曲面，所围的面积为V则定义场矢量)(rF在M点的散度为VsdrFlinrFdivsv)()(02、物理意义（1）矢量场的散度是一个标量点函数，是空间坐标的函数。（2）散度值表征了空间中通量源的密度。矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性。讨论：若,0)(rFdiv则该矢量场称为有源场，为源密度00正源,0)(rFdiv负源,0)(rFdiv无源,0)(rFdiv若,0)(rFdiv处处成立，则该矢量场为无源场。3、散度的计算直角坐标系：)()ˆˆˆ()ˆˆˆ()(rFFeFeFezeyexezFyFxFrFdivzzyyxxzyxzyx圆柱坐标系：zFFrFrFz1)(1)(A球面坐标系：FrFrFrrrrFrsin1)(sinsin1)(1)(22任意正交坐标系：)()()(1)(213331223211321hhFqhhFqhhFqhhhrF四、散度定理（矢量场的高斯定理）sdrFdvrFsv)()(矢量场)(rF的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边