第八次最优性条件

约束极值问题的最优性条件约束极值问题一.最优性条件二.约束极值问题一.ljxgmixhtsxfji,,2,10)(,,2,10)(..)(min,}0)(,0)(|{xgxhxQ令为此约束极值问题称Q,))(,,)(,)(()(,))(,,)(,)(()(2121TlTmxgxgxgxgxhxhxhxh记约束极值问题可记为则0)(0)(..)(minxgxhtsxf的可行域。0)(0)(0)(xhxhxhiii约束极值问题也可记为0)(..)(minxgtsxf最优性条件二.一个可行方向。处的为则称有使得对任意的，实数为一个向量。如果存在，设可行方向：000,],0[0xdQdxdQx0)(1xg0)(2xg0x1x1d1d2d2d可行方向和积极约束.10)(..)(minxgtsxf)1(。可行域为}0)(|{xgxQ处的积极约束。是点则称，如果对于不等式约束设点积极约束：xxgxgxgQxiii0)(,0)(0)(,约束指标集。处的积极为点称记xxIlixgixIi)(,}1,0)(|{)(指标集。的积极约束，求点令。设例xxxxgxxxgxxxgT)22,22(0)(,01)(,02)(13222122121解：,0)22(222)(21xg,0)22()22(1)(222xg。022)(3xg。}2,1{)(xI1x2xO0)(1xg0)(2xg0)(3xgx是可行方向？如何判断一个向量是否可行方向。的是点则有，如果对任意的向量。给定的积极约束指标集为记点给定点定理xddxgxIidxIxQxTi,0)()()(,1：证明有则对任意的。令,)(0,'xIitdtxx)||||()()()'(2tdodxgtxgxgTiii)||||()(2tdodxgtTi0为可行方向。即dQx,'行下降方向。处的可为点的下降方向，则称的可行方向，又是该点处既是点，如果给定向量，设点可行下降方向：xdxddQx处的可行下降方向。是点则向量满足，如果向量。给定的积极约束指标集为记点给定点定理xddxfxIidxgddxIxQxTTi0)()(0)()(,2处没有可行下降方向。点）的局部极小点，则在是约束极值问题（续。如果处连在点处可微，在点和是其积极约束指标集。，设定理*1**)*)(()(*)*)(()()(*)(*3xxxxIixgxxIixgxfxIQxii极值点的必要条件：塔克条件）条件（库恩TK.2是其积极约束指标集。）的局部极小点，是约束极值问题（设点*)(1*xIx分析：。，使下式成立可知，不存在向量则由定理0)()(0)(2dxfxIidxgdTTi为积极约束。设中只有一个指标，不妨如果)(*)()1(1xgxI成立。使得则不存在向量0*)(0*)(1dxgdxfdTT0)(1xg*x*)(1xg*)(xf。则有0,*)(*)(1xgxf。即0*)(*)(1xgxf线性无关。和并设为积极约束。和中有两个指标，不妨设如果*)(*)()()(*)()2(2121xgxgxgxgxI0)(1xg0)(2xg*x*)(1xg*)(2xg*)(xf。使得，存在*)(*)(*)(,0221121xgxgxf。0*)(*)(*)(2211xgxgxf线性无关。设一般情况：}*)(|*)({)3(xIixgi使得则存在非负实数),*)((xIii0*)(*)(*)(xIiiixgxf式可改写为)2()2(lilixgxgxfiiiliii,,2,1,0,,2,1,0*)(0*)(*)(1)3(lilixgiii,,2,1,0,,2,1,0*)(;0*)(,0;0*)(,0xgxgiiii使其满足一组实数的局部极小点，则存在）是约束极值问题（线性无关。若处连续在点处可微，点在和，设条件）定理iiiixxIixgxxIixgxxIixgxfQxTK1*}*)(|*)({,*)*)(()(*)*)(()()(*(4lilixgxgxfiiiliii,,2,1,0,,2,1,0*)(0*)(*)(1)(点。称为式的点塔克条件），满足条件（库恩式称为TKTK)()(0)(0)(..)(minxgxhtsxf问题对于有等式约束的极值)4(条件可写为TKlilixgxgxhuxfiiiliiimjjj,,2,1,0,,2,1,0*)(0*)(*)(*)(11)(点的计算TK.3求约束极值问题例004..866)(min2121212221xxxxtsxxxxxf。点的TK解：。Txxxf]3,3[2)(212114)(xxxgTxg]1,1[)(1。Txgxxg]0,1[)(,)(212。Txgxxg]1,0[)(,)(323条件得由TK01001113332121xx条件及约束条件得由TK0,,,,4000)4(3321321212312211312211xxxxxxxxxx以下分情况讨论：:0)1(21xx若。可得由00)4(1211xx32132矛盾。这与02:0,0)2(21xx若03332112x022x022x矛盾。这与02:0,0)3(21xx若02333111x031x013x矛盾。这与03:0,0)4(21xx若032331211xx21xx421xx若01321xx4621xx矛盾。421xx221xx11点。为TKT]2,2[其它最优性条件.4，使得的非负实数在一组不全为零）的局部极小点，则存约束极值问题（是若。处连续在点处可微，在点和，设条件）定理iiixxxIixgxxIixgxfQxJohnFritz1**)*)(()(*)*)(()()(*(50*)(*)(*)(0xIiiixgxf