2014年高中数学(思维启迪+状元随笔)第二章-基本初等函数Ⅰ章末高效整合同步课堂讲义课件-新人教A

1．点击指数运算有理数指数及其运算是本章的基础内容，要明确运算法则，化简或求值是本章知识点的主要呈现方式．(1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值或计算，以达到化繁为简的目的．(2)根式的运算中，有开方和乘方两种运算并存的情况．此时要注意两种运算的顺序是否可换，如当a≥0时，nam＝(na)m，而当a0时，则不一定可换，应视m，n的情况而定．2．点击对数运算(1)同底对数化简的常用方法：将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；将积(商)的对数拆成对数的和(差)，根据题目的条件选择恰当的方法．(2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用lg5＋lg2＝1来求解．(3)对多重对数符号的化简，应从内向外逐层化简求值．(4)对数的运算性质，要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．3．对比学习指数函数、对数函数的性质指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质和运算既有区别又有联系．(1)指数函数y＝ax(a0，a≠1)，对数函数y＝logax(a0，a≠1)的定义中对底数a的要求是一样的，均为a0，且a≠1.(2)指数函数y＝ax(a0，a≠1)恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax(a0，a≠1)恒过定点(1,0)．(3)指数函数y＝ax(a0，a≠1)的定义域与对数函数y＝logax(a0，a≠1)的值域相同，为R；指数函数y＝ax(a0，a≠1)的值域与对数函数y＝logax(a0，a≠1)的定义域相同，为(0，＋∞)．(4)指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1)的图象和性质都与a的取值有密切的联系，需分a1与0a1进行讨论：a1时，函数的单调性相同，都为增函数；0a1时，函数的单调性相同，都为减函数．(5)指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1)互为反函数，函数图象关于y＝x对称．4．详谈比较指数(对数)大小的方法(1)当需要比较大小的两个实数均是指数(对数)时，可将其看成某个指数函数或幂函数(对数函数)的函数值，然后利用该函数的单调性进行比较．(2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于0，小于1”“大于1”三部分，然后在各部分内利用函数的性质比较大小．5．探究指数不等式、对数不等式的解法指数不等式、对数不等式的解法主要是“同底法”，即把不等式两边化为同底数，再根据相应函数的单调性，运用转化和化归思想转化为一般不等式求解．同时，要注意转化的等价性.关于指数、对数的运算【点拨】指数、对数的运算应遵循的原则1．指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．2．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式．这是对数计算、化简、证明常用的技巧．(1)化简a43－8a13b4b23＋23ab＋a23÷1－23ba×3ab；(2)求值：12lg3249－43lg8＋lg245.[思维点击]第(1)题关于分数指数幂的运算，要把握分数指数幂的运算性质，要注意运算顺序．第(2)题关于常用对数的运算，对于底数相同的对数式的化简，要将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．[规范解答](1)原式＝a13a－8b2b132＋2a13b13＋a132×a13a13－2b13×a13b13＝a13a－8ba－8b×a13×a13b13＝a3b.(2)方法一：12lg3249－43lg8＋lg245＝lg427－lg4＋lg75＝lg427×14×75＝lg10＝12lg10＝12.方法二：原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.1．化简下列各式：(1)a3b÷3ba3×3ab；(2)lg500＋lg85－12lg64＋50(lg2＋lg5)2－24＋log23.解析：(1)原式＝a12－12＋13·b16－13＋16＝a13b0＝3a；(2)方法一：原式＝lg500×85－lg64＋50[lg(2×5)]2－16·2log23＝lg800－lg8＋50－16×3＝lg8008＋50－48＝lg100＋2＝2＋2＝4.方法二：原式＝lg5＋lg100＋lg8－lg5－12lg82＋50－16·2log23＝lg100＋50－48＝4.数的大小比较【点拨】指数式与对数式的大小比较是基本初等函数中的一类重要题目类型，其主要方法有以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等；(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决．比较下列各组数的大小：(1)40.9,80.48，12－1.5；(2)log20.4，log30.4，log40.4.[思维点击](1)观察三个数的特点，都可以化为以2为底的指数式，故可以利用函数y＝2x的单调性解决；(2)通过换底公式都可以用函数y＝log0.4x的倒数表示三个数，再通过幂函数y＝x－1的单调性解决．[规范解答](1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，12－1.5＝21.5，∵y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴40.912－1.580.48；(2)∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，∴log0.44log0.43log0.42log0.41＝0.又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，所以1log0.421log0.431log0.44，即log20.4log30.4log40.4.2．设a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，则()A．abcB．bcaC．cabD．cba解析：a＝log32＝1log23，b＝ln2＝1log2e，而log23log2e1，所以ab，又c＝5－12＝15，而52＝log24log23，所以ca，综上知cab.故选C.答案：C指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用【点拨】指数函数、对数函数是中学数学中主要的函数，它们的图象和性质是考查的重点，应熟练掌握图象的画法及形状，熟记性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数，在取不同值时，对图象和性质的影响，请看下表：函数底数图象定义域值域单调性y＝ax(a0，且a≠1)a1R(0，＋∞)当x0时0y1；当x＝0时，y＝1；当x0时，y1增函数0a1(0，＋∞)当x0时，y1；当x＝0时，y＝1；当x0时，0y1减函数y＝logax(a0，且a≠1)a1(0，＋∞)R当0x1时，y0；当x＝1时，y＝0；当x1时，y0增函数0a1R当0x1时，y0；当x＝1时，y＝0；当x1时，y0减函数幂函数的图象与性质：函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝1x定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上递增在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增在R上递增在(0，＋∞)上递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)设f(x)＝log121－axx－1为奇函数，a为常数．(1)求a的值；(2)试说明f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增；(3)若对于区间[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)12x＋m恒成立，求实数m的取值范围．[思维点击]根据奇函数的定义可求a的值；应用复合函数的单调性，可讨论f(x)的单调性；第(3)问结合第(2)问的结论，确定新构建函数的单调性，根据函数的最值可求m的取值范围．[规范解答](1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴log121＋ax－x－1＝－log121－axx－1＝log12x－11－ax.∴1＋ax－x－1＝x－11－ax，即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)，∴a＝－1(a＝1舍去)．(2)由(1)可知f(x)＝log12x＋1x－1＝log121＋2x－1(x1)，令u(x)＝1＋2x－1(x1)，对任意的1x1x2，有：u(x1)－u(x2)＝1＋2x1－1－1＋2x2－1＝2x2－x1x1－1x2－1.∵1x1x2，∴x1－10，x2－10，x2－x10，∴2x2－x1x1－1x2－10，即u(x1)－u(x2)0.∴函数u(x)＝1＋2x－1在(1，＋∞)上是减函数．又∵函数y＝log12u在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)＝log12x＋1x－1在(1，＋∞)上为增函数．(3)设g(x)＝log12x＋1x－1－12x，由(2)知：函数y＝log12x＋1x－1在[3,4]上是增函数，又∵y＝12x在[3,4]上是减函数，∴g(x)＝log12x＋1x－1－12x在[3,4]上是增函数．∴x＝3时，g(x)min＝g(3)＝log123＋13－1－123＝－1－18＝－98.又∵对任意x∈[3,4]时，g(x)m，即log12x＋1x－1－12xm恒成立，∴m－98，即所求m的取值范围是－∞，－98.3．已知函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)(1)判断函数的奇偶性；(2)若f(x)＝lgg(x)，判断函数g(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明．解析：(1)由1＋x01－x0，得－1x1，∴x∈(－1,1)，又f(－x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)g(x)在(0,1)上单调递减．证明如下：∵f(x)＝lg(1－x2)＝lgg(x)，∴g(x)＝1－x2，任取0x1x21，则g(x1)－g(x2)＝1－x21－(1－x22)＝(x1＋x2)(x2－x1)，∵0x1x21，∴x1＋x20，x2－x10，∴g(x1)－g(x2)0，∴g(x)在(0,1)上单调递减．已知幂函数y＝x－12p2＋p＋32(p∈Z)，在(0，＋∞)内y随x的增大而增大，且在定义域内其图象关于y轴对称，求p的值及相应的f(x)．[思维点击]利用幂函数的定义，奇偶性、单调性求解p.[规范解答]∵y＝x－12p2＋p＋32在(0，＋∞)上为增函数，∴－12p2＋p＋320，解得－1p3.而p∈Z，∴p＝0,1,2.当p＝0或2时，f(x)＝x32不关于y轴对称，舍去；当p＝1时，f(x)＝x2符合题意，∴p＝1，f(x)＝x2.4．已知函数y＝x23.(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性；(3)已知该函数在第一象限内的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．解析：(1)y＝x23＝3x2，定义域为R.(2)设y＝f(x)，因为f(－x)＝3－x2＝3x2＝f(x)，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y＝x23是偶函数．(3)因为该函数为偶函数，所以可作出它在第一象限内的图象关于y轴的对称图象，即得函数y＝x23的图象，如图所示．根据图象易知：函数y＝x23在区间(0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数．1．计算0.25－0.5＋127