二次函数的图象及性质(2).讲义学生版

1黑体小四板块考试要求A级要求B级要求C级要求二次函数1．能根据实际情境了解二次函数的意义；2．会利用描点法画出二次函数的图像；1．能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2．能从函数图像上认识函数的性质；3．会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4．会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1．能用二次函数解决简单的实际问题；2．能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；一、二次函数的定义黑体小四一般地，形如2yaxbxc（abc，，为常数，0a）的函数称为x的二次函数，其中x为自变量，y为因变量，a、b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而b、c可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．黑体小四二、二次函数的图象黑体小四1．二次函数图象与系数的关系（1）a决定抛物线的开口方向当0a时，抛物线开口向上；当0a时，抛物线开口向下．反之亦然．a决定抛物线的开口大小：a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大．温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a相等，则其形状相同，即若a相等，则开口及形状相同，若知识点睛中考要求二次函数的图象及性质（2）2a互为相反数，则形状相同、开口相反．（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2bxa）当0b时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧．（3）c的大小决定抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为0c，）当0c时，抛物线与y轴的交点为原点；当0c时，交点在y轴的正半轴；当0c时，交点在y轴的负半轴．2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．3.点的坐标设法⑴一次函数yaxb（0a）图像上的任意点可设为11xaxb，.其中10x时，该点为直线与y轴交点.⑵二次函数2yaxbxc（0a）图像上的任意一点可设为2111xaxbxc，.10x时，该点为抛物线与y轴交点，当12bxa时，该点为抛物线顶点．⑶点11xy，关于22xx，的对称点为212122xxyy，．4.二次函数的图象信息⑴根据抛物线的开口方向判断a的正负性．⑵根据抛物线的对称轴判断2ba的大小．⑶根据抛物线与y轴的交点，判断c的大小．⑷根据抛物线与x轴有无交点，判断24bac的正负性．⑸根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于abc，，的等式．⑹根据抛物线的顶点，判断244acba的大小．3三、二次函数的图象及性质1．二次函数2yax0a（）的性质：⑴抛物线2yax的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0x（y轴）．⑵函数2yax的图像与a的符号关系．①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点；2．二次函数2(0)yaxca的性质3．二次函数2yaxbxc0a（）或2()yaxhk（0a）的性质⑴开口方向：00aa向上向下⑵对称轴：2bxa（或xh）⑶顶点坐标：24(,)24bacbaa（或(,)hk）⑷最值：图1图2Oyx0a时有最小值244acba（或k）（如图1）；0a时有最大值244acba（或k）（如图2）；⑸单调性：二次函数2yaxbxc（0a）的变化情况（增减性）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．0a向下00，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．0a向下0c，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．4①如图1所示，当0a时，对称轴左侧2bxa，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧2bxa，y随x的增大而增大；②如图2所示，当0a时，对称轴左侧2bxa，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧2bxa，y随x的增大而减小；⑹与坐标轴的交点：①与y轴的交点：（0，C）；②与x轴的交点：使方程20axbxc（或2()0axhk）成立的x值．【例1】二次函数23(2)mymx在其图象对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，则m的值为_____．Oyx【巩固】二次函数252(1)mmymx在其图象对称轴的右侧，y随着x的增大而减小，则m的值为_____．【例2】已知点15Ax，，25Bx，是函数223yxx上两点，则当12xxx时，函数值y___________．【巩固】已知22934yxx，当x取不同的值1x，2x时函数值相等，则当12xxx时的值（）A.与1x的函数相等．B.与0x的函数相等．例题精讲5C.与14x的函数相等．D.与94x的函数相等．【例3】若二次函数22mymx有最大值，则m________．【巩固】若二次函数21mymx有最小值，则m________．【例4】二次函数2(1)2yx的图象上最低点的坐标是（）A．（-1，-2）B．（1，-2）C．（-1，2）D．（1，2）【巩固】抛物线213yxx的顶点坐标是（）．A．1,3B．1,3C．1,8D．1,8【例5】已知1a，点(1a，1)y，(a，2)y，(1a，3)y都在函数2yx的图象上，则（）A.123yyyB.132yyyC.321yyyD.213yyy【巩固】已知二次函数2yaxbxc的图象过点123257ABC，，，，，．若点12My，，21Ny，，38Ky，也在二次函数2yaxbxc的图象上，则下列结论正确的是（）．A．123yyyB．213yyyC．312yyyD．132yyy【例6】已知：二次函数2yaxb和2ybxa分别有最大值、最小值，则2ybxa和2yaxb的图像有个交点．【巩固】已知二次函数23yaxb和25ybxa分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有个交点；【例7】设抛物线为21yxkxk，根据下列各条件，求k的值．⑴抛物线的顶点在x轴上；⑵抛物线的顶点在y轴上；⑶抛物线经过点(1,2)；⑷抛物线经过原点；⑸当1x时，y有最小值；⑹y的最小值为1．6【巩固】抛物线2244yxx的对称轴为22xmn，函数的最小值是43nm，求实数m，n的值．【例8】求函数221yxx的最小值．【例9】若12x，求221yxx的最大值、最小值【例10】若01x，求221yxx的最大值、最小值；7【例11】若20x，求221yxx的最大值、最小值．【巩固】分别求出在下列条件下，函数2231yxx的最值：⑴x取任意实数；⑵当20x时；⑶当13x时；⑷当12x时．【例12】试求12345yxxxx在33x的最值．【巩固】已知函数222yxx在1txt范围内的最小值为s，写出函数s关于t的函数解析式，并求出s的取值范围．8【例13】已知二次函数2yaxbxc（其中a是正整数）的图象经过点14A，和21B，，且与x轴有两个不同的交点，求bc的最大值．【例14】设直线ykxb与抛物线2yax的两个交点的横坐标分别是12,xx，且直线与x轴的交点的横坐标为3x，求证：123111xxx．1.若1134Ay，，254By，，314Cy，为二次函数245yxx的图象上的三点，则1y，2y，3y的大小关系是（）A．123yyyB．213yyyC．312yyyD．132yyy2.已知抛物线20yaxbxca的对称轴为直线1x，且经过点1212yy，，，，试比较1y和2y的大小：1y____2y（填“”，“”或“=”）3.已知二次函数2110yaxb和2250ybxa分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有个交点．4.已知点5Aab，与点13Bab，关于原点对称，求函数2yxaxb的顶点坐标．课后作业95.已知二次函数22222()yxabxab，,ab为常数，当y达到最小值时，x的值为（）A．abB．2abC．2abD．2ab6.已知二次函数2223ymxmxm的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的负半轴，则m的取值范围是_________________．7.已知二次函数2yxbxc中，y与x的部分对应值如下表：x…101234…y…1052125…求当x为何值时，y有最小值或最大，最值是多少？8.已知抛物线223ykxkxk有最大值4，求抛物线的解析式．9.设23yxaxa，⑴当x取任意实数时，y恒为非负数，求a的取值范围；⑵当22x时，y的值恒为非负数，求实数a的取值范围．