专题一--球的切、接问题

第1页共8页乌鲁木齐市第一中学2019届高三二轮复习资料专题一球的“切”、“接”综合问题编写：李国华【基础知识，基本方法】“切”“接”问题的处理规律1．“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作，“球心截面法”是解决“切”“接”问题的根本大法。2．“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．一、与球有关的外接、内切问题解法流程二、与球有关的切、接问题中常见的组合：类型一：正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a，则|OJ|＝r＝a2(r为内切球半径)．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|＝R＝22a.③正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆，则|A1O|＝R′＝32a.类型二：正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝23a，CE＝33a，则有R＋r＝23a，R2－r2＝|CE|2＝a23，解得R＝64a，r＝612a.该正四面体外切球的半径也可以用“补形法”求解：该正四面体棱切球的半径求法：地球仪的经线圈、纬线圈第2页共8页正四面体(设棱长为a)的性质：①全面积23Sa；②体积3212Va；③外接球半径64Ra；④内切球半径612ra；⑤正四面体内任一点到各面距离之和为定值63ha.由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点.类型三：直角四面体（三条侧棱互相垂直的三棱锥）的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1­AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD­A1B1C1D1的外接球的球心重合．如图，设AA1＝a，则R＝32a.②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝a2＋b2＋c24＝l24(l为长方体的体对角线长)．类型四：双垂四面体的外接球半径问题四面体A—BCD中：若AB⊥平面BCD，CD⊥平面ACB，则称该四面体为双垂四面体(图4)，设AB=a，BC=b，CD=c，其外接球的半径为r．如果把该双垂四面体补成一个长方体，那么该双垂四面体的外接球也是长方体的外接球，于是类型五：对棱相等的四面体外接球问题对棱相等模型（补形为长方体）：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CDAB，BCAD，BDAC）例1：四面体ABCD中，541ABCDBCAD，，BD=AC=34,求该四面体的（1）外接球的半径（由于每组对棱相等，补形成长方体求解）、（2）体积（3）内切球半径（选做）三、几类常见几何体外接球问题（一）构造直棱柱求解类型六、直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；（圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径）例2、在四面体SABC中，ABCSA平面，,1,2,120ABACSABAC则该四面体的外接球的表面积为（）11.A7.B310.C340.D第3页共8页【课堂练习1】已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，60,2,3AEBADEBEA，则多面体ABCDE的外接球的表面积为.（二）锥体背景的模型类型七、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）1．如图4-1，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等三棱ABCP的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,,OOP三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径rAO1，再算出棱锥的高hPO1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R；事实上，ACP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R.也可用下面两种方法求解：法一：如图4-4，平面PAC平面ABC，且BCAB（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径rAC2；第二步：在PAC中，可根据正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，求出R.法二：三棱锥的两个侧面互相垂直，已知两个相互垂直的面的外接圆半径的长及其公共棱的长度的情形：已知三棱锥ABCD中，面ABD面BCD，且ABD，BCD的外接圆半径分别记为12,rr，公共棱BDa，则该三棱锥的外接球半径满足：222212222Rrra【课堂练习2】（1）三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，△PAC边长为2的正三角形，BCAB，则三棱锥ABCP外接球的半径为.（2）三棱锥ABCP中，平面PAC平面ABC，2AC，3PCPA，BCAB，则三棱锥ABCP外接球的半径为.（3）在三棱锥ABCP中，3PCPBPA,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B.3C.4D.43第4页共8页（4）表面积为60的球面上有四点CBAS、、、且ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若ABCSAB面,则棱锥ABCS体积的最大值为．（三）二面角背景的模型类型八、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型如图，90ACBAPB，求三棱锥ABCP外接球半径。【课堂练习3】在矩形ABCD中，4AB，3BC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB，则四面体ABCD的外接球的体积为A．12125B．9125C．6125D．3125类型九、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和BDA的外心1H和2H；第二步：过1H和2H分别作平面BCD和平面BDA的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OCOE,；第三步：解1OEH，算出1OH，在1OCHRt中，勾股定理：22121OCCHOH注：易知21,,,HEHO四点共面且四点共圆，证略例3、在边长为32的菱形ABCD中，60BAD，沿对角线BD折成二面角CBDA为120的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为【课堂练习4】在四棱锥ABCD中，120BDA，150BDC，2BDAD，3CD，二面角CBDA的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为第5页共8页【课前小测】1、一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为,6,3,2则这个长方体的对角线长为A．32B.23C.6D.62、半径为cm10的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别是236cm、264cm，则这两个平行平面间的距离是.3、圆锥的底面半径为2，母线长为4，求该圆锥的外接球的半径、内切球的半径。4、正三棱锥的高为1，底面边长为62。求棱锥的外接球半径、内切球的半径。5、如图，已知正四棱锥.S－ABCD中，底面边长为a,侧棱长为2a(1)求它的外接球的半径；(2)求它的内切球的半径．6、将半径为R的5个球中的4个球放在桌面上，并使每个球均与其它两个球相切，第五个球则放在前四个球上面，形成一个“塔”，则“塔顶”到桌面的高度是＿＿＿＿。7、在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为A.(2－1)RB.(6－2)RC.14RD.13R8、已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，（1）它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？（2）当圆柱的高取何值时，体积最大？第6页共8页9、已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，3AB，30ASCBSC，求棱锥S­ABC的体积。【巩固练习】1、已知一个圆锥底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱，问（1）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？（2）当x为何值时，圆柱的体积最大？2、在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A.10π3B.4πC.8π3D.7π33、在矩形ABCD中，2AB，3BC，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥BCDA的外接球的表面积为．4、已知三棱锥DABC中，1ABBC，2AD，5BD，2AC，BCAD，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.6B.6C.5D.85、已知四面体ABCD满足6,2ABCDACADBCBD，求四面体ABCD的外接球的表面积。6、已知正三棱锥S—ABC内接于一个半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得的截面图如右图所示，求此三棱锥的一个侧面SBC的面积。7、如图所示，已知球O为棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD3截球O的截面面积为（）A．6B．3C．66D．33第7页共8页8、点P是底边长为32，高为2的正三棱柱表面上的动点，Q是该棱柱内切球表面上的动点，则|PQ|的取值范围是9、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求此球面面积。10、三棱锥A–BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积。11、已知三棱锥S-ABC各顶点都在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC,2ACR,求三棱锥S-ABC的体积及内切球的半径。12、（2006山东卷）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为(A)2734(B)26(C)86(D)24613、直三棱柱111ABCABC的六个顶点都在球O的球面上，若1ABBC，0120ABC，123AA，则球O的表面积为（）A．4B．8C．16D．2414、（2005全国卷2）将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()A.3263B.2+263C.4+263D.4326315、在四面体CD中，平面CD，CD是边长为6的等边三角形．若4，则四面体CD外接球的表面积为．16、已知四面体PABC，其中ABC是边长为6的等边三角形，PA平面ABC,4PA,求四面体PABC的外接球的表面积.17、在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且MNAM,若侧棱23SA,则正三棱锥ABCS外接球的表面积是。第8页共8页18、正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.19、【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．20、如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为V1，俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为V2，则V1：V2A．122B．82C．62D．4221、三棱锥AB