统计学变异指标

四、变异指标概念：综合反映总体各单位标志值的差异程度或离散程度。变异指标越大，表明数据越分散、不集中；变异指标越小，表明数据越集中，变动范围越小。变异指标反映现象总体总单位变量分布的离中趋势。一、变异指标的概念它是反映总体中各单位标志值差异程度的综合指标。一、变异指标的概念变异指标（标志变动度），平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势；平均指标是说明总体各单位某一数量标志一般水平的综合指标。但是，平均指标将总体各单位标志值的差异抽象化了，是总体各单位标志值的代表水平，它不能反映总体各单位标志值的差异情况。例如，变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。工人姓名甲乙丙丁戊460520600700850奖金额（元）数量标志标志值（变量值）平均奖金=626（元）离中趋势的概念：指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志变异指标反映其大小。平均数（3）试问A、C两门课程平均考分更有代表性？表例如，A课程考分：6570758085（分）75AxB课程考分：6870768081(分)75Bx学生序号各课程考分（分）xAxBxC甲乙丙丁戊6570758085687076808179859095100合计375375449（1）试计算A、B、C三门课程的平均考分。（2）试问A、B两门课程平均考分哪个更有代表性？●●●●●657585●●●●●B组A组变异大变异小标志变异指标与平均数的代表性成反比，表明总体各单位标志值的分散程度。即标志变异指标数值越大，平均数的代表性越小。例二、标志变异指标的作用1.它是衡量平均数代表性的尺度。2.它可以反映社会经济活动过程的均衡性或稳定性程度。3.它还是抽样分析和相关分析的重要指标。注意：标志变异指标的作用是在与平均指标结合中产生的，离开了平均指标，它就失去了意义。而它与平均指标相结合，则可全面反映总体的特征，并对平均指标的代表性做出评价。例：某车间两个生产小组各人日产量（件）如下：甲组：2040607080100120乙组：67686970717273甲、乙两组工人的平均产量都为70件。通过观察可以看出，甲组数据的变异程度较大，乙组数据的变异程度较小。也可以用图示的方法观察产量的变异情况：举例：衡量平均数代表性7070甲组乙组结论：标志变异程度和平均数的代表性呈反比关系。产量差异程度较大产量差异程度较小举例：反映社会经济活动过程的均衡性观察：哪个厂供货比较均衡？钢厂供货计划完成百分比(%)季度总供货计划执行结果一月二月三月甲厂100323434乙厂100203050表（一）变异指标的种类（数值）绝对指标（与原变量值名数相同）相对指标（表现为无名数）全距平均差标准差全距系数平均差系数标准差系数三、变异指标的计算方法分类：全距平均差标准差变异系数全距全距R（range）：测定标志变异程度的最简单的指标，它是标志的最大值和最小值之差，反映总体标志值的变动范围。公式：全距＝最大标志值－最小标志值R＝Xmax－Xmin评价：从计算可知，全距仅取决于两个极端数值，不能全面反映总体各单位标志值变异的程度，也不能拿来评价平均指标的代表性。计算：R=Xmax–Xmin例、甲同学成绩全距R=93–70=22(分)乙同学成绩全距R=98–51=47(分)特点：计算方便，易于理解；易受极端数值的影响。全距【例2】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下，计算全距。计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900Xf﹪解：4080120109010110minmaxXXR对于组距数列，全距计算公式为：R≈最高组的上限值—最低组的下限值表全距的特点全距是测定标志变动度的一种粗略方法。优点：计算简单，含义明确，对于测定对称分布的数列具有特殊优点。缺点：它主要取决于极端数值，带有较大的偶然性，往往不能充分反映现象的实际离散程度。2、用于比较不同总体数值的均衡性或平均数的代表性；在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平均数代表性大小，这时：全距较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性较差；反之，则相反。全距的作用1、经常应用于生产过程的质量控制；平均差平均差A.D（averagedeviation）：是总体各单位标志对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。它综合反映了总体各单位标志值的变动程度。平均差越大，则表示标志变动度越大，反之则表示标志变动度越小。简单平均差：A.D=加权平均差A.D=Nxxffxx根据未分组资料计算表试问A、B两课程的平均考分更有代表性？学生序号考分（分）xAxB甲乙丙丁戊65707580856870768081合计375375AAxx平均数离差-10-50510—解：BAxx离差绝对值平均数离差离差绝对值nxxDAAAA.(分/人）6530nxxDABBB.(分/人)4.8524∵A.DA＞A.DB故，学生B课程平均考分比A课程平均考分更有代表性。AAxx105051030BBxx-7-5156—BBxx7515624例、某纺织厂工人日产棉纱资料计算表单位：公斤按日产量分组工人数f(人)组中值XXfXX|XX|f50—6060—7070—8080—905354515合计100)(721007200公斤算术平均数：fXfX)(6.6100660..公斤平均差：ffXXDA55657585—2752275337512757200-17-7313—85245135195660优点:不易受极端数值的影响，能较好地反映全部单位标志值的实际差异程度；平均差弥补了全距之不足，它考虑了所有的标志值。缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于数学处理和参与统计分析运算。3.平均差的特点0或0fxxxx）（）（评价：平均差意义明确，计算容易，反应灵敏。但计算时要用绝对值，不适合代数运算，因此在进一步统计分析中应用较少。标准差标准差（standarddeviation）：各单位标志值对其算术平均数的离差的平方的算术平均数的平方根，反映的是各标志值对其平均数的平均差异程度。标准差是描述数据离散程度的最常用的差异量。分类：简单标准差加权标准差公式:简单平均差：σ=加权平均差:σ=简捷计算：标志值数值较大、平均值未知，以A为假定平均数(一般取靠近中间的标志值或组中值)22σnAXnAX未分组资料：22σffAXffAX分组资料：dffffdAXdAX22σ组距数列：学生序号课程（分）xAxB甲乙丙丁戊65707580856870768081合计375375306136平均数离差离差平方平均数离差离差平方BBxx-10-50510—10025081100-7-5156492512536—问A、B那一门课程的平均考分更有代表性？解：nxxσ2A）（nxxσ2B）（因为B课程标准差较小，所以B课程平均分比A课程平均分代表性大。2)AAxx(2)BBxx(AAxx分82.72.615306分07.52.275136【例2】根据未经分组的资料表75BAxx【例】根据某车间200名工人加工零件的资料，计算工人的生产零件标准差。按零件数分组(个)职工人数(人)f40～5050～6060～7070～8080～902040805010-合计200根据变量数列资料计算表标准差计算表按零件数分组(个)职工人数(人)f组中值x40～5050～6060～7070～8080～9020408050104555657585-19.5-9.50.510.520.5380.2590.250.25110.25420.2576053610205512.54202.5合计200———20950xx2xxfxx2将表中计算结果代入公式，得到：)(23.1020020950个ffxxσ2)(表4-33例、某企业工人日产量的标准差计算表(A=85,d=10)按日产量分组(公斤)工人数(人)f组中值X60以下60—7070—8080—9090—100100—110110以上1019503627148合计1641085XfX108521085XfX210855565758595105115—-3-2-10123—-30-38-500272824-399410149—9076500275672371)(85.1416439165371σ222公斤ddffffdAXdAX1、反映某总体各单位某种标志值的离散程度；2、用于比较不同总体数值的均衡性或平均数的代表性；在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平均数代表性大小，这时：标准差较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性较差；反之，则相反。3.标准差的作用评价：标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，是统计分析中最常用的差异量。标准差具备一个良好的差异量应具备的条件，如：反应灵敏，有公式严密确定，简明易懂，适合代数运算等等。标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。数据1：1、2、3、4、5数据2：10、20、30、40、50显然,这两组数据的差别程度相同，而它们水平不同或平均数不同，这时就不能用绝对指标（标准差）比较它们的差异程度大小。这时就要计算离散系数指标来比较它们之间的差别程度大小。如果两个数列平均水平不同，或两个数列标志值的计量单位不同时，要比较其数列的变动度（即比较其数列平均数的代表性大小），怎么办？注意：这时需消除平均水平不同或计量单位不同的影响，计算标志变异系数。是总体中变异指标与其算术平均数之比，以反映标志值差异的相对水平。变异系数（V）：）（）xσRD算术平均数或或A变异指标变异系数(变异系数标准差系数离散系数指标的种类全距系数平均差系数﹪100XDAVDA﹪100XV在实际工作中运用最为广泛的是标准差系数指标。%100XRVR注意：标准差与标准差系数的不同应用条件：在比较两个不同数列（总体）标志变异程度大小（或说明其平均数代表性大小）时，当其平均水平相同时，可直接计算标准差进行比较；当其平均水平不相同（或其计量单位不同）时，需消除平均水平不同或计量单位不同的影响，计算标准差系数进行比较。根据表：学生序号考分（分）xAxC甲乙丙丁戊657075808580859095100合计375450平均数离差AAxx-10-50510—解：75Ax离差平方2)AAxx(平均数离差离差平方CCxx2)CCxx(-10-50510—100250251002501002502510025090Cxnxxσ2A）（7.075250nxxσ2C）（7.0752500.0943757.07xσVσA0.0786907.07xσVCσ∵VA＞VC故，C组平均考分更有代表性。试问A、C课程平均考分哪个更有代表性？又如，甲、乙两个农场有关资料如表4-35：指标甲农场乙农场亩数（亩）平均亩产量（斤/亩标准差（斤/亩）80006001510000800180.02560015甲xσVσ0.022580018乙xσVσ解：∵V甲＞V乙故，乙农场的粮食平均亩产量更有代表性。乙组大于甲组。散程度大于乙组，而是计算表明，并非甲组离乙甲计算离散系数来