第7章-FIR数字滤波器的设计

第7章FIR数字滤波器的设计线性相位FIR数字滤波器的条件和特点利用窗函数法设计FIR滤波器IIR和FIR数字滤波器的比较FIR数字滤波器的特点：(1)FIR滤波器的单位抽样响应是有限长的序列，因而滤波器一定是稳定的；（2）只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都能变成因果有限长序列，因而总能用因果系统来实现；（3）可以采用FFT算法来实现过滤信号；（4）要取得较好的衰减特性，FIR滤波器的阶次比IIR滤波器的要高。01nN10()()NnnHzhnz设FIR数字滤波器的单位抽样响应h(n)为N点有限长序列（），其系统函数H(z)为：j1jje0(e)()()eNnznHHzhnωωωj(e)Hω频率响应为：j(jj())()(eee)HHωθωθωωj()|(e)|HHωω()θω其中，数字频率ω的实函数，可以取负值；为相位函数。称为频率响应的幅度函数，为幅度函数和相位函数线性相位特性若FIR数字滤波器的相位函数是数字频率ω的线性函数，即：则称它具有线性相位特性。其中，τ、θ0均为常数。θ0称为起始相位，τ称为群时延。群时延τ为常数说明各种信号通过滤波器后所获得的时间延时都相同，均为τ。线性相位滤波器的群时延τ一定为常数，反之，若滤波器的群时延τ为常数则该滤波器一定具有线性相位特性。()θωτω0()θωθτω假设相位具有线性相位，即(),()θωτωθωβτω1jjjj0(e)()e(e)eNnnHhnHωωωωτj(e)Hω频率响应为：jj1010(e)cos()cos()(e)sin()sin()()()NnNnHnHhnnhnωωωτωωτω1010sin()sin()tan()cos()cos())(()NnNnhnhnnnωωτωτωτω110010sin()cos()si()()cos(n()s)in[(0()0)]NNnnNnhnhnhnnnnωττωωτωω上式成立，必须满足：1,()(1),012NhnhNnnNτ同样可以推导可知，满足另一类相位，必须满足要求1,=22()(1),01NhnhNnnNπτβFIR数字滤波器满足第一类线性相位的条件是：h(n)是N点有限长实序列，且关于n=(N-1)/2偶对称，即()(1)hnhNn1100()()(1)NNnnnnHzhnzhNnz1(1)1(1)01111222011()()()()22()()2NNnNnnNNnnNNnHzHzzHzhnzzzzzzhn()(1)hnhNn证明：当时，系统函数H(z)为：(1)1()()NHzzHz则有：1(1)01()NNmmmNnhmz1(1)0()NNmmzhmz频率响应为：j2ej1j101(e)()()cos2eNNznNHHzhnnωωωω101()()cos21()2NnNHhnnNωωθωω频率响应的幅度函数和相位函数分别为：表明：h(n)为偶对称时，相位函数是严格的第一类线性相位()θω00θ群时延τ=(N-1)/2，起始相位h(n)关于n=(N-1)/2偶对称110011(1)(1)00()()(1)1()()NNnnnnNNNmNmmmHzhnzhNnzmNnhmzzhmz(1)1()()NHzzHz111122(1)1201()()()()()22NNnnNNNnzzHzHzzHzzhn()(1)hnhNnFIR数字滤波器满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且关于n=(N-1)/2奇对称，即()(1)hnhNn证明：由于，则系统函数H(z)为表明：h(n)为奇对称时，相位函数11jj2011jj2201(e)je()sin21(e)sin2NNnNnNNHhnnNhnnπωωωωω101()()sin21()22NnNHhnnNωωπθωω()θω0/2θπ频率响应的幅度函数和相位函数为：群时延τ=(N−1)/2，起始相位通过滤波器时除了产生τ时间的延时之外，还将产生一个90o的相移。频率响应为：为严格的第二类线性相位，说明各信号这种在所有频率上都产生90o相移的变换也称为“正交变换”，能够实现正交变换的网络无论在理论上还是在工程实践上都有重要意义。h(n)为偶对称、奇对称时的线性相位特性h(n)关于n=(N-1)/2奇对称1)h(n)偶对称101()()cos2NnNHhnn1()2N2)h(n)奇对称101()()sin2NnNHhnn1()22N可正可负严格的线性相位群延时12N可正可负既是线性相位又包括π/2的相移群延时12N综上所述，FIR数字滤波器具有线性相位的条件是：单位抽样响应h(n)为N点有限长实序列（），01nN()(1)hnhNn且满足偶对称或奇对称，即：线性相位FIR数字滤波器的群时延τ=(N−1)/2，即为单位抽样响应h(n)长度的一半。FIR数字滤波器具有线性相位的条件线性相位FIR滤波器频率响应幅度函数的特点线性相位FIR数字滤波器的单位抽样响h(n)有奇对称和偶对称两种情况，而且h(n)的长度N也有奇数和偶数之分，所以分为4种情况，分别对应于4种形式的线性相位FIR数字滤波器。()Hω1.h(n)偶对称，且N为奇数2.h(n)偶对称，且N为偶数3.h(n)奇对称，且N为奇数4.h(n)奇对称，且N为偶数101()()cos2NnNHhnnωω111cos(1)coscos222NNNNnnnωωω(3)/2011()2()cos22NnNNHhhnnωω12N因此，以为中心将式中的各对称项两两合并，得：1.h(n)偶对称，且N为奇数1cos2Nnω由于与h(n)一样都关于n=(N−1)/2偶对称，即：由于cos(ωn)的周期为2π，且关于ω=0、π、2π皆为偶对称，所以在h(n)为偶对称且N为奇数时，幅度函数的周期也为2π，且关于ω=0、π、2π偶对称。(1)/2111()2cos()22NmNNHhhmmωω1(0)2Nah11()2(0,1,2,,)22NNanhnn()Hω令，得：可以表示为：其中(3)/2011()2()cos22NnNNHhhnnωω12Nmn推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，H(ω)中没有单独项，相等项合并成N/2项。1220111()2()cos2cos222NNnmNNHhnnhmm2.h(n)偶对称，且N为偶数211()()cos2NnHbnn()2(/2)(1,2,,/2)bnhNnnN其中211()()cos2NnHbnn1cos[()]2nω()Hω余弦项的周期为4π，在ω=π时其值为零，且的周期也为4π，关于ω=π奇对称，关于ω=0、2π为偶对称，且在ω=π处有一个零点，即H(π)=0。关于ω=π奇对称，关于ω=0、2π偶对称。因此，在h(n)为偶对称且N为偶数时，幅度函数显然，高通、带阻滤波器不能采用这种形式。线性相位FIR滤波器零点分布特点(1)1()()NHzzHz1100()()(1)NNnnnnHzhnzhNnz1(1)0()NNmmhmz1(1)0()NNmmzhmz(1)零点zi既在实轴上，也在单位圆上jeiiizrθ(1,0)iirθπ，1()1iHzz1iz1iz(2)零点zi在实轴上，但不在单位圆上(1,0)iirθπ，111()(1)1iiiHzzzzziθπ0iθ(3)零点zi在单位圆上，但不在实轴上(1,0)iirθπ，1*1()(1)1iiiHzzzzz(4)零点zi既不在单位圆上，也不在实轴上(1,0)iirθπ，1*111*11()(1)(1)11iiiiiHzzzzzzzzzkz1(1)kzz按照共轭且镜像的分布规律，在已知零点可以确定同组的其它零点，将全部零点因子相乘，只要再确定了增益常数K，就得到系统函数H(z)。的情况下，线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有11120021122(1)00()()()()()()(1)()(1)NNNnnnNnmnNNnNmnmHzhnzhnzhnzHzhnzhNmzhnhNn令m=N-n-1,则有12(1)0(1)121(1)20()()[]()()[](1)2NnNnnNNnNnnHzhnzzNHzhnzzhz如果N为奇数，则将中间项h［(N-1)/2］单独列出，第一类线性相位网络结构x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h(N/2－1)x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h((N－1)/2)N＝偶数N＝奇数第二类线性相位网络结构x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h(N/2－1)x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h((N－1)/2)N＝偶数N＝奇数－1－1－1－1－1－1－1－1－1利用窗函数法设计FIR滤波器设希望设计的滤波器频率响应为Hd(ejω),hd(n)是与其对应的单位抽样响应，因此()()1()()2jjnddnjjnddHehnehnHeed,()0,jacjdceHe一个截止频率为ωc的线性相位的理想矩形幅度特性的低通滤波器的频率响应为相应的单位抽样响应hd(n)为sin()1()2()cccjajndnahneedna12Nα为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即h(n)=hd(n)RN(n)1sin2,01()120,cNnnNhnNnn其他,()()0,jacjjddceHeHe根据复卷积定理，得到：()1()()()2jjjdHeHeWed1120sin(/2)()()