实验报告弹簧振子的简谐运动

实验报告 系别 ___________ 班号 ____________ 姓名 ______________ 同组姓名 __________ 实验日期 _________________________  教师评定 ______________    第1页 【实验名称】气轨上弹簧振子的简谐运动【目的要求】1.用实验方法考察弹簧振子的振动周期与系统参量的关系并测定弹簧的劲度系数和有效质量; 2.观测简谐振动的运动学特征; 3.测量简谐振动的机械能. 【仪器用具】气轨, 弹簧, 划块, 骑码, 挡光刀片, 光电计时器(精度:0.00001s), 电子天平(精度:0.01g), 游标卡尺(游标刻度0.02mm). 【实验原理】1.弹簧振子的简谐运动方程 质量为m1的质点由两个弹簧拉着, 弹簧的劲度系数分别为k1和k2, 如图所示. 当m偏离平衡位置的距离为x时, 它受弹簧作用力: f =−(k1 + k1)  kkm1实验报告 系别 ___________ 班号 ____________ 姓名 ______________ 同组姓名 __________ 实验日期 _________________________  教师评定 ______________    第2页 令k = k1 +k2 , 并用牛顿第二定律写出方程 −kx = mx¨  方程的解为:  x = A sin(ω0t + ϕ0) .................................................................(1) 即物体作简谐振动, 其中 ω0 = km  ω0是振动系统的固有角频率. m = m1 + m0 是振动系统的有效质量, m0是弹簧的有效质量. A是振幅, φ0是初相位, ω0有系统本身决定, A和φ0由初始条件决定. 系统的振动周期: T =2πω0 = 2π,mk =2πm1 + m0k.........................................(2) 2.简谐振动的运动学特征 将(1)式对时间求微商, 有 v = dxdt = Aω0cos(ω0t + ϕ0) .....................................................(3) 可见v随时间的变化关系也是一个简谐振动. 由(1)和(3)式消去t, 有: v2 = ω02(A2 − x2) ......................................................................(4) 即当x=A时, v=0; 当x=0时, v=±ω0A, 这时v的数值最大, 即 vmax = ω0A ...............................................................................(5) 3.简谐振动的机械能 在实验中, 任何时刻系统的振动动能为: 实验报告 系别 ___________ 班号 ____________ 姓名 ______________ 同组姓名 __________ 实验日期 _________________________  教师评定 ______________    第3页 Ek = 12mv2 = 12(m1 + m0)v2 ......................................................(6) 系统的弹性势能为(以m1位于平衡位置时系统的势能为零): Ep = 12kx2 .................................................................................(7) 系统的机械能为: E = Ek + Ep =12mω02A2 = 12kA2 ................................................(8) 其中k和A均不随时间变化,(8)式说明了简谐振动的机械能守恒. 【实验内容】1.测量弹簧振子的振动周期并考察振动周期和振幅的关系 滑块振动的振幅A分别取10.0, 20.0, 30.0, 40.0 cm时, 测量其相应的振动周期, 分析和讨论实验结果可得出什么结论. 2.研究振动周期和振子质量之间的关系 在滑快上加骑码(铁片). 对一个确定的振幅(A=40.0cm)每增加一个骑码测量一组T. 作T2‐m1图, 如果T与m1的关系确如 所示, 则T2‐m1图应为一直线, 其斜率为4π2k , 截距为4π2km0 . 用最小二乘法作直线拟合, 求出k和m. 3.研究振动系统的机械能是否守恒 固定振幅A=40.0cm, 测出不同x处的滑快速度v, 由此算出振动过程中系统经过每一个x处的动能和势能. 实验报告 系别 ___________ 班号 ____________ 姓名 ______________ 同组姓名 __________ 实验日期 _________________________  教师评定 ______________    第4页 【实验数据】表格1周期振幅关系m=453.8(g)振幅A(cm) TL(s) TR (s) Tˉ (s) 10.0 2.08218 2.08288 2.08242 2.08310 2.08386 2.08287 2.08289  20.0 2.08489 2.08526 2.08489 2.08469 2.08500 2.08446 2.08487  30.0 2.08552 2.08598 2.08573 2.08606 2.08566 2.08623 2.08586  40.0 2.08606 2.08599 2.08598 2.08586 2.08594 2.08588 2.08595  从这个周期和振幅的关系我们可以看出, 弹簧振子的振幅对其周期没有太大影响, 基本与理论相符. 在本次试验中周期随振幅增大而有微小增加, 那是因为存在摩擦力的原因. 表格2振子周期和质量之间的关系A=40.0(cm)m0(g) TL (s) TR (s) Tˉ (s) T2/4π2 (s2) 453.8 2.08580 2.08582 2.086062.085712.085852.085652.085815 0.083593852505.0 2.19880 2.19866 2.198522.198632.198802.198982.1987317 0.092889629556.3 2.30622 2.30653 2.306222.306262.306412.306412.3063417 0.102204509608.5 2.41073 2.41077 2.410582.410592.410292.410212.4105283 0.111647049659.7 2.50893 2.50916 2.509262.509222.508712.508812.509015 0.12095652 710.9 2.60368 2.60376 2.603822.603302.603582.603542.6036133 0.130249403拟合直线方程为: m0= 4180.678629(T24π2) + (−6.934683751)  相关系数: r = 1 弹性系数: k=4.181kg/m 弹簧折合质量: m1 = 6.935g 实验报告 系别 ___________ 班号 ____________ 姓名 ______________ 同组姓名 __________ 实验日期 _________________________  教师评定 ______________    第5页 y=4180.7x-6.93470.1100.1200.1300.1400.1500.1600.1700.1800.10.0000000.0200000.0400000.0600000.0800000.1000000.1200000.1400000.1600000.1800000.200000m1t2/4pi2由图可见可见线性关系得到很好的满足. 表格3验证机械能守恒m0(g) m1(g) m=m0+m1 (g) x0(cm) k(kg/m)A(cm) 453.8 6.935 460.735 89 4.551 40 x(cm) 56.4  66.4  89.0  102.0  116.8  U型片两次挡光时间间隔 (s) 左左左右右1 0.01352  0.00987  0.00829 0.00887 0.01151 2 0.01387  0.00996  0.00823 0.00883 0.01149 3 0.01389  0.00989  0.00830 0.00890 0.01184 T(s) 0.01376  0.00991  0.00827 0.00887 0.01161 dX(cm) 1.01  1.01  1.01  1.01  1.01  实验报告 系别 ___________ 班号 ____________ 姓名 ______________ 同组姓名 __________ 实验日期 _________________________  教师评定 ______________    第6页 v(m/s) 0.7340  1.0195  1.2208 1.1391 0.8697 Ek=mv2/2 (J) 0.124  0.239  0.343  0.299  0.174  Ep=kx2/2(J) 0.242  0.116  0.000  0.038  0.176  E=Ek+Ep (J) 0.366  0.356  0.343  0.337  0.350  E’=kA2/2(J) 0.364  0.364  0.364  0.364  0.364  我们可以看到各处动能和势能之和均基本与kA2/2一致, 与理论推导出来的结论相符. 【分析与讨论】实验进行的很顺利。首先我进行了导轨的调平，不过似乎效果也不是很明显。主要的问题在于无法准确的读到滑块的位置，因为没有明确的标示，另外光电计数器的位置也没法测得很准。滑块放手的时候容易给它一个初速度，这很不好。 我们可以看到，随着振幅的增大，周期有变长的趋势，这是摩擦力作用的结果，但是振幅不变，增大振子重量，得到的T2, m，关系同线性相差不大，这可以从一定程度上反映气垫导轨上的摩擦力大小跟振子重量关系不大，直观上想，确实也差不多应该如此。 最后一组数据，U同U’的相对差最大到了10%左右，我想问题主要不在于摩擦，确是在于位置测量的总不是很准，而且手在放开时候总会引入一些初速度。