直线参数方程t的几何意义

利用直线参数方程t的几何意义1、直线参数方程的标准式(1)过点P0(00,yx)，倾斜角为的直线l的参数方程是sincos00tyytxx（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段PP0的数量，P(yx,)P0P=t∣P0P∣=t为直线上任意一点.(2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2=t2－t1∣P1P2∣=∣t2－t1∣(3)若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3则P1P2中点P3的参数为t3＝221tt,∣P0P3∣=221tt(4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，t1·t202、直线参数方程的一般式过点P0(00,yx)，斜率为abk的直线的参数方程是btyyatxx00（t为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P0(00,yx)，倾斜角为的直线l的参数方程.设点P(yx,)是直线l上任意一点，（规定向上的方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点.1)当PP0与直线l同方向或P0和P重合时，P0P＝|P0P|则P0Q＝P0PcosQP＝P0Psin2)当PP0与直线l反方向时，P0P、P0Q、QP同时改变符号P0P＝－|P0P|P0Q＝P0PcosQP＝P0Psin仍成立设P0P＝t，t为参数，又∵P0Q＝0xx，0xx＝tcosQP＝0yy∴0yy=tsin即sincos00tyytxx是所求的直线l的参数方程∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线l上从已知点P0(00,yx)到点P(yx,)的有向线段的数量，且|P0P|＝|t|①当t0时，点P在点P0的上方；②当t＝0时，点P与点P0重合；③当t0时，点P在点P0的下方；xyh0hP0hP(yx,)Qlxyh0hP(yx,)P0hQll特别地，若直线l的倾斜角＝0时，直线l的参数方程为00yytxx④当t0时，点P在点P0的右侧；⑤当t＝0时，点P与点P0重合；⑥当t0时，点P在点P0的左侧；问题2：直线l上的点与对应的参数t是不是一对应关系？我们把直线l看作是实数轴，以直线l向上的方向为正方向，以定点P0为原点，以原坐标系的单位长为单位长，这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了一一对应关系.问题3：P1、P2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2＝？，∣P1P2∣=？P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣t2－t1∣问题4：若P0为直线l上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的参数分别为t1、t2，则t1、t2之间有何关系？根据直线l参数方程t的几何意义，P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0为直线l上两点P1、P2的中点，∴|P1P|＝|P2P|P1P＝－P2P，即t1＝－t2,t1t20一般地，若P1、P2、P3是直线l上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点则t3＝221tt（∵P1P3＝－P2P3,根据直线l参数方程t的几何意义，∴P1P3=t3－t1,P2P3=t3－t2,∴t3－t1=－(t3－t2,)）性质一：A、B两点之间的距离为||||21ttAB，特别地，A、B两点到0M的距离分别为.|||,|21tt性质二：A、B两点的中点所对应的参数为221tt，若0M是线段AB的中点，则021tt，反之亦然。在解题时若能运用参数t的上述性质，则可起到事半功倍的效果。应用一：求距离例1、直线l过点)0,4(0P，倾斜角为6，且与圆722yx相交于A、B两点。（1）求弦长AB.（2）求AP0和BP0的长。xyh0hP0hP(yx,)xyh0hPP0hlxyh0hP1P0hlP2解：因为直线l过点)0,4(0P，倾斜角为6，所以直线l的参数方程为6sin06cos4tytx，即tytx21234，（t为参数），代入圆方程，得7)21()234(22tt，整理得09342tt（1）设A、B所对应的参数分别为21,tt，所以3421tt，921tt，所以||||21ttAB.324)(21221tttt（2）解方程09342tt得，3,3321tt，所以AP033||1t，BP0.3||2t应用二：求点的坐标例2、直线l过点)4,2(0P，倾斜角为6，求出直线l上与点)4,2(0P相距为4的点的坐标。解：因为直线l过点)4,2(0P，倾斜角为6，所以直线l的参数方程为6sin46cos2tytx，即tytx214232，（t为参数），（1）设直线l上与已知点)4,2(0P相距为4的点为M点，且M点对应的参数为t，则||0MP4||t，所以4t，将t的值代入（1）式，当t＝4时，M点的坐标为)6,322(；当t＝－4时，M点的坐标为)2,322(，综上，所求M点的坐标为)6,322(或)2,322(.点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。应用三：解决有关弦的中点问题例3、过点)0,1(0P，倾斜角为4的直线l和抛物线xy22相交于A、B两点，求线段AB的中点M点的坐标。解：直线l过点)0,1(0P，倾斜角为4，所以直线l的参数方程为tytx22221，（t为参数），因为直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程xy22中，得：)221(2)22(2tt，整理得022212tt，06)2(214)2(2，设这个二次方程的两个根为21,tt，由韦达定理得2221tt，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得2221tttM，易知中点M所对应的参数为2Mt，将此值代入直线的参数方程得，M点的坐标为（2，1）点评：对于上述直线l的参数方程，A、B两点对应的参数为21,tt，则它们的中点所对应的参数为.221tt