9.2三角形的内角和外角

知识回顾1.三角形的有关概念2.练习：（1）已知三角形的两边分别是12cm和15cm，则第三边a的取值范围（）（2）已知等腰三角形的两边长分别为3cm和5cm，则三角形的周长为（）cm3.三角形三个内角和是（）度问题1在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．方法：度量、剪拼图、折叠ABCAABBCABBCC交流预习如左图所示，剪下一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3.将∠1撕下，如右图摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合.此时∠1的另一条边b与∠3的另一条边a平行吗？为什么？56如图，∵∠5=∠6，根据“内错角相等，两直线平行”，∴a∥b.交流预习如图所示，将∠3与∠2的公共边延长，它与b所夹的角为∠4.∠3与∠4的大小有什么关系？为什么？∠3=∠4，∵a∥b，根据“两直线平行，同位角相等”，可知，∠3=∠4.交流预习你现在能确定这个三角形的内角和了吗？∵a∥b，所以根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知，∠1+∠2+∠3=180°，即：三角形内角和为180°.CBA三角形的内角和等于180°.已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.先独立思考，然后师友讨论，看哪组方法最多证法1：过A作EF∥BA.∴∠B=∠2(两直线平行，内错角相等)，∠C=∠1(两直线平行，内错角相等).又∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.F21ECBA证法2：延长BC到D，过C作CE∥BA.∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)，∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.21EDCBA证法3：过A作AE∥BC.∴∠B=∠BAE(两直线平行，内错角相等)，∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补).∴∠B+∠C+∠BAC=180°.CBEA在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法.例1如图9-2-5，在△ABC中，∠A=30°，∠B=65°，求∠C的度数．解：∵∠A＋∠B＋∠C=180°（三角形内角和定理），∴∠C=180°-（∠A+∠B).∵∠A=30°，∠B=65°，（已知）∴∠C=180°-（30°+65°)=85°.（1）在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°则∠C=.（2）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4则∠A=，∠B=，∠C=.（3）一个三角形中最多有个直角？为什么？（4）一个三角形中最多有个钝角？为什么？（5）一个三角形中至少有个锐角？为什么？（6）任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为.102°80°60°40°60°2111.在△ABC中，∠B=62°24′，∠C=28°52′，求∠A的度数.解：∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和定理)，∴∠A=180°-(∠B+∠C).∵∠B=62°24′，∠B＝28°52′(已知).∴∠A=180°-(62°24′+28°52′)，∴∠A=180°-91°16′，∴∠A=88°44′.2.在△ABC中，∠C=36°∠A与∠B的比是1:2，求∠A，∠B的度数.解：∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和定理)，∴∠C=180°-(∠B+∠A)，∵∠B=2∠A(∠A与∠B的比是1:2).∴∠C=180°-3∠A，∴∠A=(180°-36°)÷3，∴∠A=48°，∵∠C=36°.∴∠B=96°.3.在△ABC中，∠C=42°∠A=∠B,求∠B的度数.解：∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和定理），∴∠C=180°-(∠B+∠A),∵∠B=∠A(已知),∴∠C=180°-2∠B.∴∠B=(180°-42°)÷2，∴∠B=69°.∵∠C=42°，第二课时理解三角形的外角的概念问题如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．这个角还是三角形的内角吗？概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．ABCD探索与证明三角形的外角的性质∠ACD（外角）+∠ACB（相邻的内角）=180°．ABCD问题如图，∠ACD与∠ACB的位置是怎样的？∠ACD与∠ACB有什么数量关系？探索与证明三角形的外角的性质如图，∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACD=∠A+∠B．ABCD问题如图，∠ACD与∠A，∠B的位置是怎样的？∠ACD与∠A，∠B的大小有什么关系？你能证明你的结论吗？探索与证明三角形的外角的性质如图，三角形ABC中，∠A=70°，∠B=60°．∠ACD是三角形ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？探索与证明三角形的外角的性质三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据．解：(1)在△ABC中，∵∠BCD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠BCD=92°，∠A=27°，（已知）∴∠B=∠BCD-∠A=92°-27°=65°.例2如图9-2-7，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°，求：(1)∠B的度数．(2)∠BFD的度数．(2)在△BEF中，∵∠BFD=∠B＋∠BED（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠BED=44°（已知）,∠B=65°（已求），∴∠BFD=44°+65°＝109°.∠C∠3∠DAC∠4练习练习1如图，口答：（1）∠1=+；（2）∠2=+．BACD1234课堂练习练习2如图，说出图形中∠1的度数．图中∠1的度数依次为：90°，85°，95°，45°．（1）（2）（3）（4）30°60°135°60°145°50°130°15°1课堂练习练习3如图，说出图形中∠1和∠2的度数：（1）（2）（3）11122260°80°30°40°40°运用三角形的外角的性质如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解法一：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+（∠1+∠2）ABFCDE123运用三角形的外角的性质如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ABFCDE123解法一：=2（∠1+∠2+∠3）．∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.运用三角形的外角的性质如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解法二：由∠1+∠BAE=180°，∠2+∠CBF=180°，∠3+∠ACD=180°，得∠1+∠2+∠3+∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°．ABFCDE123运用三角形的外角的性质如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ABFCDE123解法二：由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.大家谈谈：1、一个三角形的内角最多有几个直角，最多有几个钝角？2、一个三角形能不能三个内角都是锐角？三个内角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个内角是直角的三角形叫直角三角形，有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形。三角形的分类1.按边分等边三角形等腰三角形等腰三角形斜三角形三角形2.三角形可以按内角的大小进行分类：三角形锐角三角形三个内角都是锐角ACB直角三角形有一个内角是直角ACB钝角三角形有一个内角是钝角ACB(1)课堂练习ABDC练习如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°.求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数．1.如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，∠DBC=112°，∠A=35°.求∠C.ABCD第（1）题解：∵∠A+∠C=∠DBC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.）∴∠A+∠C=112°∴∠A=35°（已知）∴∠C=112°-35°∴∠C=77°2.已知某三角形的一个外角是55°，这个三角形是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形？解：是钝角三角形∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.）已知一个外角是55°∴这个三角形的另一个内角是135°.∴这个三角形是钝角三角形.3.如图，∠DAC，∠EBA，∠FCB分别是△ABC的三个外角，求∠DAC+∠EBA+∠FCB的度数.解：∵∠DAC、∠EBA、∠FCB均为△ABC的外角∴∠DAC=∠ABC+∠ACB∠EBA=∠BAC+∠ACB∠FCB=∠ABC+∠ABC∴∠DAC+∠EBA+∠FCB=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）ABCDEF∴∠DAC+∠EBA+∠FCB=360°第（3）题分层作业：1、学师完成课本A组、B组，学友完成课本A组。2、完成新方案中9.3预习方案