2019年高考数学真题及解析(全国卷I：文科)

12019年高考文科数学真题及解析（全国卷I）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设3i12iz，则z=（）A．2B．3C．2D．12．已知集合1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB，，，则UBCA=（）A．1,6B．1,7C．6,7D．1,6,73．已知0.20.32log0.2,2,0.2abc，则（）A．B．C．D．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（512≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm5．函数f(x)=2sincosxxxx在[π，π]的图像大致为（）abcacbcabbca2A．B．C．D．6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．tan255°=（）A．23B．2+3C．23D．2+38．已知非零向量a，b满足a=2b，且（ab）b，则a与b的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π69．如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A=12AB．A=12AC．A=112AD．A=112A310．双曲线C：22221(0,0)xyabab的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．1sin50D．1cos5011．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=14，则bc=（）A．6B．5C．4D．312．已知椭圆C的焦点为12(1,0),(1,0)FF，过F2的直线与C交于A，B两点.若22||2||AFFB，1||||ABBF，则C的方程为（）A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线2)3(exyxx在点(0,0)处的切线方程为___________．14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若13314aS，，则S4=___________．15．函数3π()sin(2)3cos2fxxx的最小值为___________．16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；4（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd．P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．520．（12分）已知函数f（x）=2sinxxcosxx，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）ax，求a的取值范围．21.（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA││MP│为定值？并说明理由．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．2cos3sin110623．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca．参考答案一、选择题1．C【解析】由题可得，3i12i17i12i12i55z，∴2z，故选C.2．C【解析】∵U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，B={2，3，6，7}，∴CUA={1，6，7}，则UBCA={6，7}，故选C．3．B【解析】∵a=log20.2log21=0，∴a0，又∵b=20.220=1，∴b1，∵00.20.30.20=1，∴0c1，∴acb，故选B．4．B【解析】头顶到脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶到咽喉的长度与咽喉到肚脐的长度之比是512≈0.618，可得咽喉到肚脐的长度小于260.618≈42cm，由头顶到7肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是512，可得肚脐到足底的长度小于42260.618=110，即有该人的身高小于110+68=178cm，又肚脐到足底的长度大于105cm，可得头顶到肚脐的长度大于1050.618≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm，故选B．5．D【解析】∵f(x)=2sincosxxxx=f(x)，∴函数f(x)=2sincosxxxx是奇函数，又∵f()=210，f(2)=2124=2421，故选D.6．C【解析】∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，∴系统抽样的组距为1000100=10，∵46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，∴可以抽到616．故选C．7．D【解析】tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=tan45tan301tan45tan30=23．故选D．8．B【解析】∵()abb，∴()abb=abb2=cosabb2=0，∴21cos2bab，即夹角为3，故选B.9．A【解析】模拟程序的运行，可得，第一步：A=12，k=1；满足条件k2，执行循环体，第二步，A=1122，k=2；满足条件k2，执行循环体，第三步，A=112122，k=3；此时，不满足条件k2，退出循环，输出A的值为112122，观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A=12A．故选A．10．D【解析】双曲线C：22221(0,0)xyabab的渐近线方程为y=bax，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得ba=tan130°=tan50°，则ba=tan50°=sin50cos50，∴22ba=222caa=22ca1=22sin50cos50，8∴e21=22sin50cos50，∴e2=21cos50，则e=1cos50．故选D．11．A【解析】∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinAbsinB=4csinC，cosA=14，∴a2b2=4c2，∴a2=b2+4c2，由余弦定理得，cosA=2222bcabc=14，解得bc=6．故选A．12．B【解析】∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|，又由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=2a，∴|AF2|=a，|BF1|=32a，∵|AF1|+|AF2|=2a，∴|AF1|=a，∴|AF1|=|AF2|，∴A在y轴上．在Rt△AF2O和△BF1F2中，cos∠AF2O=1a，cos∠BF2F1=223422222aaa，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得1a+2422aa=0，解得a2=3，∴a=3，b2=a2c2=31=2．∴椭圆C的方程为2232xy=1．故选B．二、填空题13．y=3x【解析】∵y=3(x2+x)ex，∴求导得y'=3(x2+3x+1)ex，∴当x=0时，y'=3，∴y=3(x2+x)ex在点（0，0）处的切线斜率0'xy=3，∴切线方程为y=3x．14．58【解析】∵等比数列{an}的前n项和，a1=1，S3=34，∴q1，311qq=34，整理可得，q2+q+14=0，可得，q=12，则S4=S3+a4=3148=58．15．−4【解析】∵3π()sin(2)3cos2fxxx=cos2x3cosx=2cos2x3cosx+1=232cos4x，又∵1cosx1，∴cosx=1时，函数有最小值4．16．2【解析】∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，9BC的距离均为3，过点P作PE⊥AC，交AC于E，作PF⊥BC，交BC于F，过P作PP'⊥平面ABC，交平面ABC于P'，连接P'D，P'C，则PE=PF=3，∴CE=CF=P'E=P'F=2223=1，∴PP'=22'PEPE=31=2．∴P到平面ABC的距离为2．三、解答题17．解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）22100(40203010)4.76250507030K．由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18．解：（1）设na的公差为d．由95Sa得140ad．由a3=4得124ad．于是18,2ad．因此na的通项公式为102nan．（2）由（1）得14ad，故(9)(5),2nnnndandS.由10a知0d，故nnSa…等价于211100nn„，解得1≤n≤10．10所以n的取值范围是{|110,}nnnN剟．19．解：（1）连接1,BCME.∵M，E分别为1,BBBC的中点，∴1MEBC∥，且112MEBC.又∵N为1AD的中点，∴112NDAD.由题设知11=ABDC∥，可得11=BCAD∥，故=MEND∥，∴四边形MNDE为平行四边形，MNED∥.又MN平面1CDE，∴MN∥平面1CDE.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE