高考数学1-1-3-1-2柱体、锥体、台体的表面积与体积球的体积和表面积配套课件新人教A版必修

1．3空间几何体的表面积与体积1．3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积1．3.2球的体积和表面积【课标要求】1．通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法．2．了解球体的表面积和体积计算公式，并能运用它们解决几何体的度量问题．【核心扫描】1．利用公式求表面积及体积．(重点)2．与球有关的组合体问题的求解，体会其中的转化思想．(难点)自学导引1．柱体、锥体、台体、球的表面积几何体表面积公式圆柱S＝(其中r为底面半径，l为母线长)圆锥S＝(其中r为底面半径，l为母线长)圆台S＝(其中r′，r分别为上、下底面半径，l为母线长)球S＝(其中R为球的半径)2πr(r＋l)πr(r＋l)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)4πR2试一试：斜棱柱的侧面展开图是怎样的图形，它的侧面积怎样求．提示斜棱柱的侧面展开图是一些平行四边形连接起来的不规则图形．它的侧面积等于各个侧面面积之和，也等于直截面(与侧棱垂直相交的截面)的周长与侧棱长的乘积．2．柱体、锥体、台体与球的体积几何体体积公式柱体V＝(S为底面面积，h为柱体的高)锥体V＝13Sh(S为底面面积，H为锥体的高)台体V＝13(S′＋S′S＋S)h(S，S′分别为上、下底面积，h为台体的高)球V＝43πR3(其中R为球的半径)Sh试一试：比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可看作特殊的台体？其体积公式是否可以看作台体公式的特殊形式？提示柱体、锥体可以看作“特殊”的台体，当S′为0时变为锥体，当S′＝S时，变为柱体．名师点睛1．表面积公式(1)柱体的表面积柱体的表面积是侧面面积与上、下底面面积之和．棱柱的侧面展开图是一个或几个平行四边形，上、下底面不变，因此只要计算出侧面面积，其表面积即可求；圆柱的侧面展开图是矩形，上、下底面不变，所以它们的表面积公式为S表面积＝S侧＋2S底．(2)锥体的表面积一个棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，因此侧面积为各个三角形面积之和，一个圆锥的侧面展开图为扇形，利用扇形面积公式可求侧面积，所以它们的表面积公式为S表面积＝S侧＋S底．(3)台体的表面积一个棱台的侧面展开图由若干个梯形拼接而成，因此侧面积为各个梯形的面积之和，而圆台的侧面展开图为扇环，其侧面积可用大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，所以它们的表面积公式为S表面积＝S侧＋S上底＋S下底．2．柱、锥、台体的体积之间的关系3．求几何体的体积与表面积需注意的问题(1)求几何体的表面积要弄清楚几何体侧面展开图的形状及各几何量的大小．(2)求柱体、锥体、台体的体积关键是找到相应的底面积与高，常需将空间问题平面化．(3)球的有关问题关键是求出半径，注意球心在解题中的作用．题型一求几何体的表面积【例1】圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少?[思路探索]根据圆台的侧面展开图求出圆台的母线，进而求出圆台的表面积．解如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，∴SA＝20.同理可得SB＝40.∴AB＝SB－SA＝20.∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.规律方法求几何体的表面积时，要先弄清几何体的结构特征，若是台体，要注意运用台体与锥体的关系；若是旋转体，要注意轴截面及侧面展开图的应用．【变式1】已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积．解如图所示，设O为正三角形ABC的中心，连接PO，连接AO并延长交BC于D，连接PD，则PO是正三棱锥P—ABC的高．由正三角形ABC的性质知，D是BC的中点，又PB＝PC，故PD⊥BC，即PD是三棱锥的斜高．由已知∠APO＝45°，又AO＝23×32×4＝433(cm)，则PA＝2AO＝2×433＝463(cm)，所以PB＝463(cm)．所以PD＝PB2－BD2＝4632－22＝2153(cm)．所以正三棱锥P—ABC的侧面面积为：S侧＝3S△PBC＝3×12×4×2153＝415(cm2)，底面积为：S底＝12×42×32＝43(cm2)，故S表面积＝S侧＋S底＝415＋43＝4(15＋3)(cm2)．题型二求几何体的体积【例2】如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′，求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．[思路探索]此题是几何体的分割问题，解答时可先求出整个长方体的体积，再求出截下的三棱锥的体积，从而求出剩余部分的体积．解法一设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V＝abc，又S△A′DD′＝12bc，且三棱锥C-A′DD′的高为CD＝a.∴V三棱锥C-A′DD′＝13S△A′DD′·CD＝16abc.则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－16abc＝56abc.故V三棱锥C－A′DD′∶V剩＝16abc∶56abc＝1∶5.法二已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.而棱锥C-A′DD′的底面面积为12S，高为h，因此棱锥C-A′DD′的体积VC－A′DD′＝13×12Sh＝16Sh.余下的体积是Sh－16Sh＝56Sh.所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为16Sh∶56Sh＝1∶5.规律方法(1)求几何体的体积，必须先确定底面积和高，然后运用体积公式，其间要注意到平面图形的应用；(2)对于组合体，可采用“割补法”转化为简单几何体求解．【变式2】已知一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为三个全等的等腰直角三角形，如图所示．直角三角形的直角边长为1，求此几何体的体积．解由几何体的三视图画出它的直观图，如图所示是一个三棱锥，其中△ASB、△ASC、△BSC分别是以∠ASB、∠ASC、∠BSC为直角，且直角边长为1的全等的等腰直角三角形，所以该三棱锥的体积是V＝13S△SBC·SA＝13×12×1×1×1＝16.即所求几何体的体积是16.题型三球的体积与表面积【例3】在球内有相距1cm的两个平行截面，截面面积分别是5πcm2和8πcm2，球心不在截面之间，求球的表面积和体积．[思路探索]解设两个截面圆圆心分别为C1，C2，则由球及其截面圆的性质(可类比圆的弦)知O，C1，C2共线，过C1，C2作球的截面，如图所示，则A1B1，A2B2分别是已知截面的直径，且A1B1∥A2B2，OC1⊥A1B1，OC2⊥A2B2，连接OA1，OA2，设两截面圆的半径分别为r1，r2(r1＞r2)．依题意：πr21＝8π，πr22＝5π，∴r21＝8，r22＝5.∵OA1＝OA2＝R，是球的半径，∴OC1＝R2－r21，OC2＝R2－r22.又OC2－OC1＝1，∴R2－r22－R2－r21＝1，即R2－5＝1＋R2－8，解得R2＝9，∴R＝3.∴S球表面积＝4πR2＝4π×9＝36π(cm2)，V球＝43πR3＝43π×33＝36π(cm3)．所以，球的表面积和体积分别是36πcm2,36πcm3.规律方法(1)球的截面圆的圆心与球心O的连线与截面圆垂直(可类比圆中弦心距与弦之间的关系)，这是一个隐含条件，要注意挖掘．(2)解决球的问题，经常使用球的大圆(即过球心的截面)，目的是使立体问题平面化．【变式3】已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．解如图，设球心为O，球半径为R，作OO1垂直平面ABC于O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心．设M是AB的中点，由于AC＝BC，则O1在CM上．设O1M＝x，易知O1M⊥AB，则O1A＝22＋x2，O1C＝CM－O1M＝62－22－x.又O1A＝O1C，∴22＋x2＝62－22－x.解得x＝724.则O1A＝O1B＝O1C＝924.在Rt△OO1A中，O1O＝R2，∠OO1A＝90°，OA＝R.由勾股定理得R22＋9242＝R2.解得R＝362.故S球＝4πR2＝54π，V球＝43πR3＝276π.题型四与球有关的切、接问题【例4】已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a.(1)求它的外接球的体积；(2)求它的内切球的表面积．审题指导找出外接球，求出它的半径即可求出体积，而内切球的球心O到棱锥的各个面的距离相等，所以可由正四棱锥的体积求出其半径，再求表面积．[规范解答]如图，作PE垂直底面ABCD于E，则E在AC上．(1)设外接球的半径为R，球心为O，连接OA、OC，则OA＝OC＝OP.∴O为△PAC的外心，即△PAC的外接圆半径就是球的半径，(3分)∵AB＝BC＝a，∴AC＝2a.∵PA＝PC＝AC＝2a，∴△PAC为正三角形．∴R＝AEcos∠OAE＝2a2cos30°＝63a，∴V球＝43πR3＝8627πa3.(6分)(2)设内切球的半径为r，作PF⊥BC于F，连接EF.则有PF＝PB2－BF2＝2a2－a22＝72a.S△PBC＝12BC·PF＝12a×72a＝74a2，S棱锥全＝4S△PBC＋S底＝(7＋1)a2.(8分)又PE＝PF2－EF2＝72a2－a22＝62a.∴V棱锥＝13S底h＝13a2×62a＝66a3，(10分)∴r＝3V棱锥S棱锥全＝3×66a37＋1a2＝42－612a，S球＝4πr2＝4－73πa2.(12分)【题后反思】处理多面体之间或多面体与球之间的切接关系问题时，一般可以采用两种转化方法：一是转化为平面图形之间的内切或外接关系；二是利用分割的方式进行转化，使运算和推理变得简单，这里体现的转化思想是立体几何中非常重要的思想方法．【变式4】(2011·高考全国课标卷)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝23，则棱锥OABCD的体积为________．解析依题意棱锥O-ABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径，如图连接AC，取AC中点O′，连接OO′，易知AC＝AB2＋BC2＝43，故AO′＝23.在Rt△OAO′中，OA＝4，从而OO′＝42－12＝2.所以VO－ABCD＝13×2×6×23＝83.答案83方法技巧函数与方程思想在空间几何体中的应用函数与方程的思想是高中数学的一条主线，是中学数学的基础思想，是历届高考考查的重点．所谓函数的思想，就是用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系；所谓方程的思想，就是把函数解析式看成一个方程，将变量间的等量关系表达为方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题得以解决．在解决空间几何体的表面积和体积等问题时，通常利用表面积公式或体积公式建立关于某一变量的函数关系式，利用函数与方程的思想解决．【示例】在底面半径为R，高为h的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．[思路分析]作出其轴截面图，如图所示，求出圆柱的侧面积关于高x的函数，然后求函数的最值．解如图，设圆柱的高为x，其底面半径为r，则rR＝h－xh，∴r＝Rh－xh.圆柱的侧面积S侧＝2πrx＝2πRh·x(h－x)＝－2πRh(x2－hx)＝－2πRhx－h22－h24＝－2πRhx－h22＋πhR2.当x＝h2时，S侧最大值＝πhR2.即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为h2，此时侧面积的最大值为12πRh.方法点评与旋转体有关的问题，常作轴截面，利用相似比得出变量之间的关系，再进一步转化成代数问题解决．