线性代数及其应用术语要点中英对照

 1 / 12  Chapter 1‐Review   1.线性方程组Systems of Linear Equations (Linear System)      [P3 ]关键词：coefficient系数[P2]; constant term常数（项）[讲义‐P1]; linear equation线性方程 [P2]；variable未知数（或变元）有m个方程n个未知数(x1,x2,…xn)的线性方程组可表示为：1)ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi(1≤i≤m)2)x1a1+x2a2+…+xnan=b(a1,a2,…an,b为m维列向量)3)Ax=b(A是m×n矩阵；x，b为m维列向量)4)Augmentedmatrix(增广矩阵)-(其中第j(1≤j≤n)列是变元xj的系数)2.线性方程组解的情况（SolutionStatus）      [P4]1)Nosolution无解2)HasSolution有解a)Exactlyonesolution(uniquesolution)唯一解b)Infinitelymanysolutions无穷多解 3.阶梯形（EchelonForms）      [P14]关键词：leading entry先导元素[P14];pivot position主元位置[P16];1)3conditionsofechelonformmatrix阶梯形矩阵的三个条件（缺一不可）:a)Azerorowisnotaboveonanynonzerorow所有非零行都在零行上部b)Eachleadingentryofarowisontherightoftheleadingentryofthepreviousrow每行的先导元素都在上一行先导元素的右边c)Ineachcolumn,anentrybelowtheleadingentryis0与先导元素同列且在其下部的元素全为02)2additionalconditionsofReducedEchelonForms简化阶梯形的额外两个性质：a)Theleadingentryofeachnonzerorowis1每一非零行的先导元素都是1b)Eachleading1istheONLYnonzeroentryofitscolumn先导元素是其所在列唯一非零元素注：与线性方程组结合：                                     4.解的存在性与唯一性定理（Theorem2.ExistenceandUniquenessTheorem）  [P24]关键词：pivot column主元列[P16];echelonform阶梯形[P16]； No [0 0 … 0 | bi]  bi ≠ 0     ≡    Has solution  No free variables  ~ unique solution≥1free variable  ~ infinitely many solutions5.齐次线性方程组非零解的条件（ConditionofHomogeneousSystemHavingNon-TrivialSolution）     [P50]关键词：homogeneoussystem齐次线性方程组[P50] ; Ax=0[P50]; non-trivialsolutions非零解/非平凡解[P51];  freevariable自由变量[P20] ; Homogeneoussystemhasnon-trivialsolutions齐次线性方程组有非零解~atleastone~11~  2 / 12  freevariable至少有一个自由变量注：结合简化阶梯形采用反证法轻松搞定！Additionally,此外：ifr=#{pivotpositions},p=#{freevariables},n=#{variables}thenr+p=n,#{}-numberof{ζ}（ζ的个数）注：看简化阶梯形6.非齐次线性方程组解的结构定理（StructureofSolutionSetofNonhomogeneousSystem）     [P53]关键词：nonhomogeneoussystem非齐次线性方程组[P50];Letv0beasolutionofanonhomogeneoussystemAx=b.LetHbethesetofgeneralsolutionsofthecorrespondinghomogeneoussystemAx=0.SupposethesolutionsetofAx=bisSThenS=H+v0如果v0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，H是对应齐次线性方程组Ax=0的通解。（Ax=0也称为Ax=b的导出组）则Ax=b的通解是S=H+v0注：ProofApparently,h∈H,(h+v0)∈S;so,HS;（1）Now,v∈S,v-v0∈H,sinceA(v-v0)=Av-Av0=b-b=0;Becausev-v0+v0∈H+v0Consequently:v∈H+v0andthusSH（2）Given(1)and(2),wenowhaveS=H.■E.g.:(Examples5.1and5.2)Ax=0:H=Ax=b:V0=S=v0+H= 7.线性组合（LinearCombination）      [P32]关键词：vectors 向量v1, v2,…vp[P32];scalar标量c1, c2,…cp[P29]; Ify=c1v1+c2v2+…+cpvp 3 / 12  Thenvectoryiscalledalinearcombinationofthevectorsv1, v2,…vp 注：与线性方程组结合 b=x1a1+x2a2+…+xnan(a1,a2,…an,b为向量;x1, x2,…xp为标量)有解≡b是a1,a2,…an的线性组合8.线性无关/相关（LinearIndependent/Dependent）     [P65]关键词：trivialsolutions非零解/非平凡解[P51];  m 维空间[P28]; 1)Definition [P65] Vectorset{a1,a2,…an}islineardependentifx1a1+x2a2+…+xnan=0hasonlythetrivialsolution.(x1x2…xnareall0)如果方程组x1a1+x2a2+…+xnan=0只有零解(x1x2…xn全是0)，则a1,a2,…an线性无关。Vectorset{a1,a2,…an}islinearindependentifx1a1+x2a2+…+xnan=0ifx1x2…xnarenotall0.若方程组x1a1+x2a2+…+xnan有非零解（x1x2…xn不全是0），则向量组a1,a2,…an线性相关。2)Theorem 7 CharacterizationofLinearlyDependent定理7线性相关和线性组合的关系定理[P68] Vectorset{a1,a2,…an}islineardependent~Existvectorai(1≤i≤n),whichisalinearcombinationoftheothervectors向量组{a1,a2,…an}线性相关~存在某向量ai(1≤i≤n)是其它向量的线性组合注：由线性相关定义x1a1+x2a2+…+xnan=0，x1x2…xn不全是0则线性相关。设xi≠ 0 (1≤i≤n),把xiai移到等式另一边xiai=-（x1a1+x2a2+…+xnan），然后两边除以xi（因为xi≠ 0）即得证向量ai(1≤i≤n)是其它向量的线性组合（还不懂？看线性组合定义100遍☺）。3)Theorem 8 Determine Linearly Dependency by Investigating Vector Dimension and Number由向量个数与维数判断相关性定理[P68] Vectorset{a1,a2,…an}inislineardependentifnmrai(1≤i≤n),whichisalinearcombinationoftheothervectors如果向量组中向量个数n大于向量的维数m,则向量组线性相关。注：不知如何证明？看本表第5项100遍☺。4)Theorem 9Vectorset{a1,a2,…an}islineardependentifthereexistsai=0（1≤i≤n) {a1,a2,…an}，ai=0（1≤i≤n){a1,a2,…an}线性相关注：还是不知如何证明？看本格上面的定义100遍☺。9.等价定理（Theorem4）      [P43]关键词：m 维空间[P28];subsetofspanned(orgenerated)byv1, v2,…vp 由v1, v2,…vp张成(或生成的)的的子空间[P35]; 1)Foreachbin,thesystemAx=bhasasolution.对于中的每一个向量b，线性方程组Ax=b都有一个解2)EachbinisalinearcombinationofthecolumnsofA.中的每一个向量b都是矩阵A的列向量的线性组合3)ThecolumnsofAspan矩阵A的列向量生成4)ThematrixAhasapivotpositionineveryrow.矩阵A每一行都有一个主元位置注：1）-3）根据定义显然成立；4）可用定理2采用反证法10.补充齐次方程组基础解系定理（AdditionalTheoremofbasicsolutionsofahomogenouslinearsystem）     [P43]关键词：basicsolutions(基础解系)[讲义P17定理5.3]Thebasicsolutionsofanyhomogeneouslinearsystemarelinearlyindependent.齐次线性方程组的基础解系中各个向量是线性无关的注：先看本表第6项齐次方程组的例子 4 / 12  Proof:Supposev1v2…vparethebasicsolutionsofahomogeneouslinearsystemAx=0.Then,weknowthattherearepfreevariablesAx=0(为什么，看本表第5项)Letc1v1+c2v2+…+cnvp=v，wherec1,c2,…cnarescalars.Weknowthatineachvectorvi(1≤i≤p),thereisa1correspondingtothepositionofthei-thfreevariable.Inaddition,eachelementinthatpositionintheothervectorsis0.**…10…0Consequently,theelementinthispositionofthevectorvisci.Therefore,forvectorvtobea0vector,c1,c2,…cnmustallbe0.■ Chapter 2   matrix algebra [P105]矩阵代数 matrix operations [P107]矩阵的运算 main diagonal of matrix [P107]矩阵的主对角线 diagonal matrix [P107]对角矩阵 identity matrix In [P45+ P107] n × n单位矩阵  matrix addition [P107]矩阵加法 scalar multiplication [P109]数乘（矩阵） matrix multiplication [P109]矩阵乘法 If A is an m × n matrix, and B is an n × p matrix with co