§1.5、向量函数的积分

§1.5、向量函数的积分1、体积分设D是R3中的一个体积元V，在V中定义的函数。定义（体积分）：设是V的一个分割，，任取点，作和式：当时，若和式的极限存在，且与V的划分与的选取无关，则称这个极限为在V上的积分，记做1,,nVV()fx1max,,nVVViixV1()niiifxV0,Vnix()fx()VfxdV在R3空间，可以表示为：()fx()()()()xyzfxfxifxjfxk则：()(())(())(())xyzVVVVfxdVfxdVifxdVjfxdVk(),(),()TxyzVVVfxdVfxdVfxdV(),(),()TxyzVVVfxdVfxdVfxdV体积分的计算规则：(1)设为常向量，为数量函数，则：a()ux()()VVauxdVauxdV(2)设为常向量，为向量函数，则：a()fx()()VVafxdVafxdV(3)设为常向量，为向量函数，则：a()fx()()VVafxdVafxdV例1：设V是平面和三个坐标平面x=0,y=0z=0所围的区域，求在V上的体积分。1xyz(,,)Trxyz解：如图表示，则：V(),,TVVVVrxdVxdVydVzdV分别计算三个分量的积分，首先：VVxdVxdxdydz111000xxyxdxdydz1100(1)xxdxxydy1201(1)2xxdx124同理：124VVydVydxdydz124VVzdVzdxdydz最后得：111(),,242424TVrxdV11,1,124T1210012xyxdxxy2、曲面积分设D是R3中的一块简单、分块光滑的空间有向曲面，我们可以定义沿一侧的积分。定义(曲面积分)：设在空间曲面上有定义，为的任意一个分割，记，任取点，作和式：当时，若和式的极限存在，且与的划分与的选取无关，则称这个极限为在上的积分，记做1,,nSS1max,,nSSSiixS1()niiifxS0,SnSix()fx()SfxdSSSSS()fxS()fx在R3空间，可以表示为：()fx()()()()xyzfxfxifxjfxk()()SSSfxdSfxndS若的法向量的单位向量为：S(cos,cos,cos)Sn则：SSSn所以：()cos()cos()cosxyzSfxfxfxdS()cos()cos()cosxyzSfxdSfxdSfxdS()()()xyzSfxdydzfxdxdzfxdxdy()SSrxdSxdydzydxdzzdxdy例2：设是平面和三个坐标平面所围的闭曲面，求沿的外侧的曲面积分。S1xyz0,0,xy0z(,,)TrxyzS解：如图表示，是分别表示三角形OAB,OBC,OCA所围平面，代表ABC的所围三角形，则：S123,,SSS4S对于，z=0，dz=0，则：1S1()0SrxdS同理：23()()0SSrxdSrxdS对于，则：4S44()SSrxdSxdydzydxdzzdxdy44(1)SSxdydzyzdydz而：444SSSdydzydydzzdydz41100ySydydzydydz10(1)yydy1641100ySzdydzdyzdz164110012ySdydzdydz所以：411112666Sxdydz同理：4416SSydzdxzdxdy最后得：1()2SrxdS例3：设是球面，求沿球面外侧的积分。S2221xyz(,,)Trxyz()()()SSrxrxdSrxdSr解：对于球面来说，其任意点的法向分量为所以，沿球面外侧的积分为：x0rSrdS42Srrd3、曲线积分设l是R3中的一条简单、分段光滑的空间有向曲线，我们可以定义在曲线上的积分。定义(曲线积分)：设为空间内由点A到点B的一条有向光滑曲线，任取分段点，把分成n个有向线段，定义，记，任取点，作和当，和式的极限存在且和曲线的划分与的选取无关，则称这个极限为沿曲线的曲线积分，记作01,,,nAMMMB()fx1max,,nlll1()niiifxl0,lnliixl()lfxdll()fxll1iiilMMixl在R3空间，可以表示为：()fx()()()()xyzfxfxifxjfxk()()lllfxdlfxndl若的法向量的单位向量为：l(cos,cos,cos)ln则：llln所以：()cos()cos()cosxyzlfxfxfxdl()cos()cos()cosxyzlfxdlfxdlfxdl()()()xyzlfxdxfxdyfxdz例4：设为平面与三个坐标平面的交线所围的闭曲线，曲线方向如图所示，求函数沿曲线正向的积分。l1xyz()(,,)Tfxzyxzyx解：由围成，,,ABBCCAl()llfxdlzydxxzdyyxdz同理：()()1BCCAfxdlfxdl最后得：()3lfxdl()ABABfxdlzydxxzdyyxdzABydxxdy0110(1)(1)xdxydy0110(1)(1)1xdxydy对于，z=0，dz=0，则：AB4、Gauss公式和Stokes公式Gauss公式：设空间曲面是分片光滑的双侧闭曲面，其内部区域记为，设函数在和上连续，在内具有一阶偏导数，则：SV()((),(),())TfxPxQxRxSVV()()VSfxdSfxdVStokes公式：设空间曲面是光滑的有界曲面，其边界l是一条分段光滑的闭曲线，设函数在和l上连续，在上具有一阶偏导数，则：S()((),(),())TfxPxQxRxSS()()SlfxdlfxdS总结1、体积分体积分的定义体积分公式：2、面积分()(())(())(())()()()xyzVVVVxyzVVVfxdVfxdVifxdVjfxdVkfxdVifxdVjfxdVk()()()()()SSSxyzSfxdSfxndSfxdydzfxdxdzfxdxdy3、线积分4、Gauss公式和Stokes公式()()()()()lllxyzlfxdlfxndlfxdxfxdyfxdz()()()()VSSlfxdSfxdVfxdlfxdS作业：(1)设l为正向圆周，向量，求积分222xyb22(,)Taxxyladl(2)设运动路径，端点，求质量为m的物体由A运动到B重力所作的功(z轴方向为垂直向上)。()((),(),()),[,]Tltxtytzttab((),(),()),((),(),())AxayazaBxbybzb