高中数学导数及其应用测试题

《导数及其应用》单元复习检测题说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.1.过抛物线y=x2上的点M（41,21）的切线的倾斜角是()A.300B.450C.600D.9002.若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则()A.c≠0B.当a0时，f(0)为极大值C.b=0D.当a0时，f(0)为极小值3.若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（）A.430xyB.450xyC.430xyD.430xy4.由曲线3cos(0)2yxx与坐标轴围成的面积是（）A.4B.52C.3D.25.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是()A.（0，1）B.（-∞，1）C.（0，+∞）D.（0，21）6.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=()A.0B.1C.nD.n!7.经过原点且与曲线y=59xx相切的方程是()A.x+y=0或25x+y=0B.x－y=0或25x+y=0C.x+y=0或25x－y=0D.x－y=0或25x－y=08.由曲线22yx与3yx，0x，2x所围成的平面图形的面积为（）A.1B.2C.3D.49.设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为()A.0B.1C.nn)221(D.1)2(4nnn10.有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s墙脚滑动，当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度为（）A.3m/sB.0.875m/sC.1.4m/sD.5m/s11.过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+25=0相切的直线的方程为()A.y=-3x或y=31xB.y=-3x或y=-31xC.y=-3x或y=-31xD.y=3x或y=31x12.双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于一个常数，则这个常数为（）A.1B.2C.aD.22a第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13.已知曲线y=31x3+34，则过点P（2，4）的切线方程是_____________.14.若f′(x0)=2,kxfkxfk2)()(lim000=_________.15.设yfx()为三次函数，且图象关于原点对称，当x12时，fx()的极小值为1，则函数fx()的解析式为________________.16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分).17．计算下列定积分：(1)432xdx；（2）1211edxx.18．设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.19.一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，其中k为比例常数（k0）．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功.20.抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．21.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a）,在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方形，该长方体的高为小正方形的边长，如图（b）.请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积1V；由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积12VV.xxab22．已知函数f(x)=x3+x3，数列｜xn｜(xn＞0)的第一项xn＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在))(,(11nnxfx处的切线与经过（0，0）和（xn,f(xn)）两点的直线平行（如图）求证：当n*N时.(1)x;231212nnnnxxx(2)21)21()21(nnnx．参考答案一、选择题1.选B.由f′(x)=2x，得k=f′(12)=1,所以倾斜角为450.2.选C.由f′(x)=3x2+2ax+b,得f′(0)=b=0.3.选A.与直线480xy垂直的直线l为40xym，即4yx在某一点的导数为4，而34yx，所以4yx在(1，1)处导数为4，此点的切线为430xy.4.选C.3322220022cos(cos)sin(sin)3xdxxdxxx.5.选A.由f′(x)=3x2-6b=0，在x(0,1)内有解，b=212x（0，21）.6.选D.设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！.7.选A.设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=00xy,另一方面，y′=(59xx)′=2)5(4x,故y′(x0)=k,即)5(9)5(40000020xxxxyx或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)=53515915,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,53),从而得y′(A)=3)53(4=1,3,5－1及y′(B)=251)515(42,由于切线过原点，故得切线：lA:y=－x或lB:y=－25x.8.选A.122201(23)(32)1Sxxdxxxdx.9.选D.∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=n22,易知fn(x)在x=n22时取得最大值，最大值fn(n22)=n2(n22)2(1－n22)n=4·(n22)n+1.10.选B.设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－2925t,当下端移开1.4m时，t0=157341,又s′=－21(25－9t2)21·(－9·2t)=9t29251t,所以s′(t0)=9×2)157(9251157=0.875(m/s).11.选A.设切线的方程为,0.ykxkxy又22521,2,1.2xy圆心为222151,3830.,3.231kkkkkk1,3.3yxyx或12.选D.设双曲线上任一点P（x0，y0）,202xxxa|yk0,∴切线方程)xx(xayy02020,令y=0，则x=2x0，令x=0，则02xa2y.∴2a2|y||x|21S.二、填空题13.y′=x2，当x=2时，y′=4.∴切线的斜率为4.∴切线的方程为y－4=4（x－2），即y=4x－4.答案：4x－y－4=0.14.根据导数的定义：f′(x0)=kxfkxfk)()]([(lim000(这时kx).1)(21)()(lim21])()(21[lim2)()(lim0000000000xfkxfkxfkxfkxfkxfkxfkkk答案：－1.15.设fxaxbxcxda()()320，因为其图象关于原点对称，即fx()fx()，得axbxcxdaxbxcxdbdfxaxcx3232300，，，即()由fxaxc'()32，依题意，fac'()12340，fac()121821，解之，得ac43，.答案：fxxx()433.16.设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+22xR,解得x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为S=x·h=,)2()2(432hRhhhRh从而)2()2(21432143hRhhRhS32322143)2()23()46()2(21hhRhRhhRhhRh.令S′=0,解得h=23R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)h(0,23R)23R(23,2R)S′+0－S增函数最大值减函数由此表可知，当x=23R时，等腰三角形面积最大.答案：23R.三、解答题17．（1）34|2|xdx=234222xdxxdx（）（）=2241(2)|2xx+2321(2)|2xx=292；(2)原式=12ln(1)|ex=lnln1e=1.18.由已知得函数()fx的定义域为(1,)，且'1()(1),1axfxax（1）当10a时，'()0,fx函数()fx在(1,)上单调递减，（2）当0a时，由'()0,fx解得1.xa'()fx、()fx随x的变化情况如下表x1(1,)a1a1(,)a'()fx—0+()fx极小值从上表可知当1(1,)xa时，'()0,fx函数()fx在1(1,)a上单调递减.当1(,)xa时，'()0,fx函数()fx在1(,)a上单调递增.综上所述：当10a时，函数()fx在(1,)上单调递减.当0a时，函数()fx在1(1,)a上单调递减，函数()fx在1(,)a上单调递增.19.物体的速度233)(btbtdtdxV．媒质阻力422229)3(tkbbtkkvFzu，其中k为比例常数，k0．当x=0时，t=0；当x=a时，311)(batt，又ds=vdt，故阻力所作的功为：3277130320302727727)3(111baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFWtttzuzu．20．依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以320261)(badxbxaxSab(1)又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组bxaxyyx24得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．于是,)1(1612ba代入（1）式得：)0(,)1(6128)(43bbbbS，52)1(3)3(128)(bbbbS．令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且29maxS．21.（1）设切去的正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面的边长为4-2x,高为x，所以,)44(4)24(2321xxxxxV,)20(x.∴)483(421'xxV.令01'V,得2,3221xx(舍去).而)2)(32(121'xxV,又当32x时,01'V.当232x时,01'V,∴当32x时,1V取最大值27128.（2）重新设计方案如下：如图①在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊成的长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积61232V，显然12VV.故第二种方案符合要求.图③223图②14231图①22.（1）因为'2()3