概率论与数理统计卷三(附答案)

一、判断题（10分，每题2分）1.在古典概型的随机试验中，0)(AP当且仅当A是不可能事件.（）2．连续型随机变量的密度函数)(xf与其分布函数)(xF相互唯一确定.（）3．若随机变量X与Y独立，且都服从1.0p的(0，1)分布，则YX.（）4．设X为离散型随机变量,且存在正数k使得0)(kXP，则X的数学期望)(XE未必存在.（）5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时,犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少.（）二、选择题（15分，每题3分）1.设每次试验成功的概率为)10(pp，重复进行试验直到第n次才取得)1(nrr次成功的概率为.（ａ）rnrrnppC)1(11；（ｂ）rnrrnppC)1(；（ｃ）1111)1(rnrrnppC；（ｄ）rnrpp)1(.2.离散随机变量X的分布函数为)(xF，且11kkkxxx，则)(kxXP.（ａ）)(1kkxXxP；（ｂ）)()(11kkxFxF；（ｃ）)(11kkxXxP；（ｄ）)()(1kkxFxF.3.设随机变量X服从指数分布，则随机变量)2003,(maxXY的分布函数.（ａ）是连续函数；（ｂ）恰好有一个间断点；（ｃ）是阶梯函数；（ｄ）至少有两个间断点.4.设随机变量),(YX的方差,1)(,4)(YDXD相关系数,6.0XY则方差)23(YXD.（ａ）40；（ｂ）34；（ｃ）25.6；（ｄ）17.6.5.设),,,(21nXXX为总体)2,1(2N的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是.（ａ）)(~/21ntnX；（ｂ）)1,(~)1(4112nFXnii；（ｃ）)1,0(~/21NnX；（ｄ）)(~)1(41212nXnii.三、填空题（28分，每题4分）1.一批电子元件共有100个,次品率为0.05.连续两次不放回地从中任取一个,则第二次才取到正品的概率为.2.设连续随机变量的密度函数为)(xf，则随机变量XeY3的概率密度函数为)(yfY.3.设X为总体)4,3(~NX中抽取的样本(4321,,,XXXX)的均值,则)51(XP＝.4.设二维随机变量),(YX的联合密度函数为他其,0;10,,1),(xxyyxf则条件密度函数为当时)(xyfXY.5.设)(~mtX,则随机变量2XY服从的分布为(需写出自由度).6.设某种保险丝熔化时间),(~2NX（单位：秒），取16n的样本，得样本均值和方差分别为36.0,152SX，则的置信度为95%的单侧置信区间上限为.7.设X的分布律为X123P2)1(22)1(已知一个样本值)1,2,1(),,(321xxx，则参数的极大似然估计值为.四、计算题（40分，每题8分）1.已知一批产品中96%是合格品.检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05.求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.2．设随机变量X与Y相互独立，X，Y分别服从参数为)(,的指数分布，试求YXZ23的密度函数)(zfZ.3．某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为1的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4．设总体),(~2NX，),,,(21nXXX为总体X的一个样本.求常数k,使niiXXk1为的无偏估计量.5．（1）根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2NX（单位：kg）.已知8kg，现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值2.575xkg.问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570kg？（%5）（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2N.某日抽取5个样品，测得其纤度为:1.31，1.55，1.34，1.40，1.45.问这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10作假设检验.五、证明题（7分）设随机变量ZYX,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(pB.试证明随机变量YX与Z相互独立.一.判断题1.是.在几何概型中，命题“0)(AP当且仅当A是不可能事件”是不成立的.2.非.改变密度函数)(xf在个别点上的函数值，不会改变分布函数)(xF的取值.3.非.由题设条件可得出82.0)(YXP，根本不能推出YX.4.非.由题设条件可可以证明1kkkpx绝对收敛，即)(XE必存在.5.是.由关系式/nzz(等式右端为定值)可予以证明.二.选择题1.（ａ）2.（ｄ）3.（ｂ）4.（ｃ）5.（ｄ）.三.填空题1.19/396.2.000)])3/[ln()(1yyyfyfyY.3.0.9772.4.当10x时他其0)2/(1)(xyxxxyfXY5.),1(mF].6.上限为15.263.7.5/6.四.计算题1.A被查后认为是合格品的事件，B抽查的产品为合格品的事件.9428.005.004.098.096.0)()()()()(BAPBPBAPBPAP，.998.09428.0/9408.0)(/)()()(APBAPBPABP2.解一他其00,0),()(yxeyxfyx0z时，0)(zFZ，从而0)(zfZ；0z时，2/)3(03/023),()23()(xzyzxzyxZdyedxedxdyyxfzYXPzFzzee322332321所以0,00),(23)(2/3/zzeezfzzZ解二其他00)(xexfxX其他00)(yeyfyY0z时，0)(zfZ；0z时，dxxzfxfzfYXZ]2/)3[()()(21)(232/3/3/0]2/)[(21zzzxzxeedxe所以0,00),(23)(2/3/zzeezfzzZ解三设YWYXZ23WYWZX3/)2(31103/23/1J随机变量),(WZ的联合密度为wwzeJwwzfwzg3231,32),(所以2/03132),()(zwZdwedwwzgzfwz0)(232/3/zeezz.3.设iX为第i周的销售量,52,,2,1iiX)1(~P，则一年的销售量为521iiXY，52)(YE,52)(YD.由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(YPYP6041.016103.09938.01)28.0()50.2(.4.注意到nXXX,,,21的相互独立性5.(1)要检验的假设为570:,570:10HH检验用的统计量)1,0(~/0NnXU，拒绝域为96.1)1(025.02znzU.96.106.21065.010/85702.5750U，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H，即不能认为平均折断力为570kg.(2)要检验的假设为221220048.0:,048.0:HH检验用的统计量)1(~)(2202512nXXii，拒绝域为488.9)4()1(205.022n或711.0)4()1(295.02122nniiXXnXXnXX)1(12121)(,0)(nnXXDXXEii21,0~nnNXXidzennzXXEnnzi2212121|||)(|dzennznnz221201212nn122niiniiXXEkXXkE11||||nnkn122令)1(2nnk41.1x，488.9739.150023.0/0362.020,落在拒绝域内，故拒绝原假设0H，即认为该天的纤度的总体方差不正常.证明题证一由题设知X01YX012PpqP2qpq22p)0()0()0,0(3ZPYXPqZYXP；)1()0()1,0(2ZPYXPpqZYXP；)0()1(2)0,1(2ZPYXPpqZYXP；)1()1(2)1,1(2ZPYXPpqZYXP；)0()2()0,2(2ZPYXPpqZYXP；)1()2()1,2(3ZPYXPpZYXP.所以YX与Z相互独立.证二由题设可得YX与Z的联合分布YXZ01203q22pqqp212pqqp223p联合概率矩阵中任两行或两列元素对应成比例，故概率矩阵的秩等于1，所以YX与Z相互独立.是非题（共7分，每题1分）