8.5空间向量

了解空间直角坐标系，理解空间两点间的距离公式．2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．4．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲的复习，应紧扣概念，理顺关系，掌握运算的法则及其性质．在2011年高考中，山东卷第6题、陕西卷第12题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)空间向量的运算(加、减、数乘、数量积)；(2)空间向量的坐标表示及其坐标运算.用辽大教辅考名牌大学为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，如图所示，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做________，分别称为________，________，________.坐标平面xOy平面yOz平面xOz平面．空间点的坐标过点P作一个平面平行于平面yOz(这样构造的平面垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的________；过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的________；过点P作一个平面平行于平面xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的________．横坐标纵坐标竖坐标用辽大教辅考名牌大学感悟探究空间中坐标平面上与坐标轴上点的坐标有何特征？【答案】①平面yOz上的点的坐标为(0，y，z)，xOz平面上点的坐标为(x,0，z)，xOy平面上点的坐标为(x，y,0)．②x轴上的点形如(x,0,0)，y轴上的点形如(0，y,0)，z轴上的点形如(0,0，z)．．若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝____________________________________________________.特别地，点P(x，y，z)与原点O之间的距离为|PO|＝________.4．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序数组x、y、z，使______________．{a，b，c}叫做空间的一个________，a、b、c叫做________，(x，y，z)叫做p关于基底{a，b，c}的________．x1－x22＋y1－y22＋z1－z22x2＋y2＋z2p＝xa＋yb＋zc基底基向量坐标．设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果OP→＝xi＋yj＋zk，则________叫做向量OP→的坐标，也叫做点P的坐标．6．设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么a±b＝____________________，a·b＝____________________，cos〈a，b〉＝____________________.λa＝_____________，a∥b⇔______________________________，a⊥b⇔____________________.(x，y，z)(x1±x2，y1±y2，z1±z2)x1x2＋y1y2＋z1z2x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22(λx1，λy1，λz1)x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(b≠0)x1x2＋y1y2＋z1z2＝0时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°.2．一般地，在所给几何图形中，如果出现了三条两两垂直的直线，那么就可以利用这三条直线分别作为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．3．在建立空间直角坐标系时，应注意点O的任意性，原点O的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能使点的坐标为正值．．有了空间直角坐标系，我们就可以建立空间中的任意一点P与有序实数组(x，y，z)之间的一一对应关系了．5．空间直角坐标系中，在x轴上的点的纵坐标、竖坐标等于0，所以可记为(x,0,0)，同理，在y轴、z轴上的点的坐标可分别记为(0，y,0)，(0,0，z)．6．空间直角坐标系中，在xOy平面上的点的竖坐标等于0，所以可记为(x，y,0)，同理，在xOz平面、yOz平面上的点的坐标可分别记为(x,0，z)，(0，y，z)．．一些常用对称点的坐标：①P(x，y，z)――→关于坐标平面xOy对称P1(x，y，－z)；②P(x，y，z)――→关于坐标平面yOz对称P2(－x，y，z)；③P(x，y，z)――→关于坐标平面zOx对称P3(x，－y，z)；④P(x，y，z)――→关于x轴对称P4(x，－y，－z)；⑤P(x，y，z)――→关于y轴对称P5(－x，y，－z)；⑥P(x，y，z)――→关于z轴对称P6(－x，－y，z)；⑦P(x，y，z)――→关于原点对称P7(－x，－y，－z)．．平面上的两点之间的线段的中点坐标公式可以推广到空间，即若两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则其中点坐标为(x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22).用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1]求点A(1,2，－1)关于x轴及坐标平面xOy的对称点B、C的坐标，以及B、C两点间的距离．用辽大教辅考名牌大学【解析】用辽大教辅考名牌大学如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使CM＝AM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使NB＝AN，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．∴|BC|＝1－12＋－2－22＋1－12＝4.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.用辽大教辅考名牌大学【答案】如图，以A为原点，AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，∴N(1,0,2)，M(1,1,1)，∴|MN|＝1－12＋0－12＋2－12＝2.空间向量及其加减与数乘运算(1)空间向量的概念空间向量同平面向量一样，我们把在空间具有大小和方向的量叫做向量，仍用有向线段表示向量，同向且等长的有向线段表示同一个向量或相等向量，空间任意两个向量都可以转化为平面向量．用辽大教辅考名牌大学(2)空间向量的运算空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律与平面向量基本相同，向量的加法满足交换律、结合律和数乘的分配律．向量的加法常用平行四边形法则，向量的减法常用三角形法则．特别地OAn→＝OA1→＋A1A2→＋A2A3→＋…＋An－1An.(3)空间向量的加法、减法与数乘运算、运算律．①加法交换律：a＋b＝b＋a.②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.．几个重要的定理(1)由于任意两个向量都是共面向量，所以原有的平面向量有关定理在空间依然成立(如共线向量定理等)．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与它们共面的充要条件是存在实数对(x，y)使得p＝xa＋yb.它的两个推论是：用辽大教辅考名牌大学①空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得MP→＝xMA→＋yMB→；②对于空间任一点O，有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→.若x＋y＋z＝1，则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面．故OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，x＋y＋z＝1，可看成平面ABC的一个向量参数方程，其中x，y，z为参数．用辽大教辅考名牌大学(3)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么空间的任意一个向量p总能唯一地表示为p＝xa＋yb＋zc的形式.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2]如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，点M、N分别是A1D、B1D1的中点．(1)试用a、b、c表示MN→；(2)求证：MN∥平面ABB1A1.用辽大教辅考名牌大学【分析】(1)本题考查向量的加减法，其关键是利用MN→＝A1N→－A1M→，A1M→＝12A1D→，A1N→＝12A1C1→等关系，将MN→用a，b，c表示出来；(2)考查共面向量定理．用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)∵A1D→＝AD→－AA1→＝c－a，∴A1M→＝12A1D→＝12(c－a)．同理，A1N→＝12(b＋c)，∴MN→＝A1N→－A1M→＝12(b＋c)－12(c－a)＝12(b＋a)＝12a＋12b；用辽大教辅考名牌大学(2)∵AB1→＝AA1→＋AB→＝a＋b，∴MN→＝12AB1→，即MN∥AB1，∵AB1⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，∴MN∥平面ABB1A1.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习2]解下列各题(1)已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)·m＋8n＋2yp，且m、n、p三个向量不共面，若a∥b，求实数x、y的值．用辽大教辅考名牌大学(2)已知平行四边形ABCD(如图所示)，从平面AC外一点O引向量OE→＝kOA→，OF→＝kOB→，OG→＝kOC→，OH→＝kOD→.求证：①四点E、F、G、H共面．②平面EG∥平面AC.用辽大教辅考名牌大学【答案】(1)由已知b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝λ(3m－2n－4p)，∴x＋13＝8－2＝2y－4，∴x＝－13，y＝8.