8.3空间点线面位置关系

用辽大教辅考名牌大学第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系掌握平面的基本性质．2．能画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系．3．掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲复习，应联系生活中具体情景，理解平面性质(即公理)，掌握定理．在2011年高考中，陕西卷第5题、福建卷第12题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)平面的概念及性质；(2)空间两条直线位置关系的判定；(3)异面直线所成的角与距离.如果一条直线上________在一个平面内，那么这条直线上的________都在这个平面内，这时我们说_______________或______________．2．公理2经过______________________，有且只有一个平面．简单地说成：_________________________.3．公理3如果不重合的两个平面有___________，那么它们有且只有_____________________．有两点所有点直线在平面内平面经过直线不在同一直线上的三点不共线三点确定一个平面一个公共点一条过这个点的公共直线．公理2的推论推论1经过___________________，有且只有一个平面．推论2经过__________________，有且只有一个平面．推论3经过__________________，有且只有一个平面．5．空间两条直线的位置关系(1)________：有且仅有一个公共点．(2)________：在同一平面内，没有公共点．(3)________：不同在任何一个平面内，没有公共点．一条直线和直线外一点两条相交直线两条平行直线相交直线平行直线异面直线．异面直线定义：_____________________的两条直线叫做异面直线．不同在任何一个平面内如果两条直线没有任何公共点，则两条直线为异面直线，此说法正确吗？【答案】不正确．如果两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面．．异面直线所成的角(1)定义：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a′∥a，b′∥b，a′、b′所成的______________叫做异面直线a、b所成的角．(2)两条异面直线所成的角的范围为________．锐角(或直角)(0°，90°]．公理4(平行公理)：__________________________.9．等角定理：空间中如果两个角的两边分别________，那么这两个角___________．平行于同一直线的两直线平行对应平行相等或互补平面(1)平面是一个只描述而不定义的最基本的原始概念．对其应理解三点：①平面是平的；②平面无厚度；③平面可以无限延展，是无边界的．用辽大教辅考名牌大学(2)平面的性质：①公理1的作用：(ⅰ)是用直线鉴别平面的方法．(ⅱ)证明直线在平面内的依据．②公理2及其推论的作用：(ⅰ)它是在空间中确定平面的依据；(ⅱ)它是证明两平面重合的依据；(ⅲ)它为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法．用辽大教辅考名牌大学③公理3的作用有五个：(ⅰ)判定两个平面相交；(ⅱ)证明点在直线上；(ⅲ)证明三点共线；(ⅳ)证明三线共点；(ⅴ)画两个平面的交线．用辽大教辅考名牌大学(3)三个公理及推论的主要应用①证明线共面证明线共面，一般是三线共面作为原始题从而推广到多线共面．一般有两种证法，一是两线确定一个平面，再证明第三线在这个平面内；二是其中两条直线确定一个平面α，另两条直线确定平面β，而α，β又同时具有确定平面的公共条件，进而α，β重合，从而三线共面．用辽大教辅考名牌大学②证明三点共线三点都是某两平面的公共点，则三点共线．③证明三线共点与初中证明三线共点的思路一样，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1](1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有一条D．有无数条用辽大教辅考名牌大学(2)在空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两两相交的三条直线B．三条直线中的一条与另外两条直线分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点用辽大教辅考名牌大学【解析】(1)如图所示；在直线CD上任取一点H，则直线A1D1与点H确定一平面A1D1HG.显然EF与平面A1D1HG有公共点O且A1D1∥HG.∉HG.连结HO并延长，则一定与直线A1D1相交．由于点H有无数个，所以与A1D1、EF、CD都相交的直线有无数条．用辽大教辅考名牌大学(2)根据确定平面的定理与推论进行判定．A不正确，两两相交的三条直线，它们可能交于同一点，也可能不交于同一点．当三条直线相交于同一点时，这三条直线可能不在同一个平面内，故A不正确；B不正确，条件中另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故B不正确；不正确，空间三个点可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上．当三个点在同一条直线上时，经过这三个点的平面有无数多个，故C不正确；D正确，因为它们两两相交于不同的点，所以三个交点不在同一条直线上，由公理2知，确定一个平面．【答案】(1)D(2)D用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]下列说法正确的是()A．如果两个不重合的平面α、β有一条公共直线a，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝aB．两个平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于过A点的任意一条直线C．两个平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于A点，并记作α∩β＝AD．两个平面ABC与DBC相交于线段BC用辽大教辅考名牌大学【答案】A【解析】根据平面的性质公理3可知，A选项是正确的；对于B，其错误在于“任意”二字上；对于C，错误在于α∩β＝A上；对于D，应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC.故选A.空间两条直线的位置关系(1)相交直线——有且仅有一个公共点；(2)平行直线——在同一平面内，没有公共点；用辽大教辅考名牌大学(3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．从是否共面的角度上看，空间直线分为：空间直线共面平行直线相交直线异面——异面直线空间直线的位置只有三种，三者必居其一．对于异面直线要抓住“不同在任何一个平面内”中的“任何一个”．．平行公理与等角定理(1)公理4：直线a、b、c满足a∥b，c∥b，则a∥c.①公理4其实质是平行线的传递性，在平面几何和立体几何中都是成立的．空间三条直线a、b、c两两平行可以记为a∥b∥c.②判定两条直线平行的方法：第一是在同一平面内判定它们不相交(平面内的两种位置关系)；第二是在空间找与两条已知直线都平行的直线．③该公理揭示了平行线具有传递性．它的主要作用是实现了平行关系的转化，提供了判断空间直线平行及点、线共面的方法．用辽大教辅考名牌大学(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．①空间等角定理是平面几何等角定理的推广．对于在平面几何中成立的结论，推广到空间图形中是否仍然成立，必须经过证明．②证明空间两角相等可利用等角定理．在运用时必须抓住角的两边分别平行，两组直线所成的角或相等(方向相同)或互补(方向相反)．用辽大教辅考名牌大学③平行公理及等角定理其实质说明空间的线段和角，经过平移后，线段的长度和角的大小都不发生改变．④平行公理和等角定理都是论证平行问题的主要依据．等角定理是定义异面直线所成角的依据，但必须注意角的方向．．异面直线(1)异面直线的判定方法：①定义法——不同在任一平面内的两条直线．②反证法——排除相交、平行两种位置关系．③定理——过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．用辽大教辅考名牌大学(2)异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角．①异面直线所成的角的大小只与a、b的相对位置有关，与空间的点O的选取无关，主要是利用了等角定理的推论．②异面直线所成的角θ的范围是：0°＜θ≤90°或(0，π2]．在解决这类题目中若求出的角是钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．用辽大教辅考名牌大学③等角定理是两条异面直线所成的角的定义的理论基础．在空间中“任意取一点”，不难证明两平行直线与同一直线所成的角相等．用辽大教辅考名牌大学④对于两异面直线所成的角(ⅰ)在作异面直线所成的角时，一般将“点”直接取在其中一条直线上．(ⅱ)求两异面直线的夹角的步骤：a.作出两异面直线的夹角；b.简单证明所作角符合定义；c.把所作角放入三角形中，计算得大小．称为“一作二证三计算”．(ⅲ)求异面直线所成的角的方法：a.平移法；b.补体法．(ⅳ)作异面直线所成的角时，要注意利用现有图形中的平行关系，例如三角形的中位线、平行四边形的对边等，这样可以简化作图的过程．用辽大教辅考名牌大学(3)异面直线垂直的概念：如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线垂直．两条异面直线a、b垂直也记作a⊥b.注意空间中两条直线垂直和平面内两条直线垂直性质上的区别.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例2]如图所示，已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线．【分析】证明两条直线异面常用反证法或判定定理．用辽大教辅考名牌大学【解析】证法1：假设b与c不是异面直线，则b与c或平行或相交，(1)若b∥c，∵c∥a，∴a∥b这与b∩a＝A矛盾，∴b不平行于c.