第二节--可分离变量的微分方程(精)

第二节可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(可分离变量的微分方程.5422yxdxdy例如,2254dxxdyy解法dxxfdyyg)()(设)(yG和)(xF分别为)(yg和)(xf的原函数,则CxFyG)()(为微分方程的通解.例1.求微分方程的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分得13lnCxyCxylnln3即1eCC令(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得即12xCy由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为1)0(y例3.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始条件)分离变量,,lnlnCtM得即tCMe利用初始条件,得0MC故所求铀的变化规律为.e0tMM然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO内容小结可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分;根据定解条件定常数.思考与练习求下列方程的通解:提示:xxxyyyd1d122(1)分离变量(2)方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln补充题:1.度成正比,解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为分离变量,然后积分:得)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)e1(tmkkgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速求降落伞下落速度与时间的函数关系.kgmvt足够大时2.有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.说明:由力学知识得,水从孔口流出的流量为,262.0ghSdtdVQ流量系数孔口截面面积重力加速度cm100horhdhh)1(,262.0dtghdV设在微小的时间间隔],,[dttt水面的高度由h降至,dhh,2dhrdV则,200)100(100222hhhr)2(,)200(2dhhhdV比较(1)和(2)得:dhhh)200(2,262.0dtgh1S,cm2解,)200(262.03dhhhgdt,)523400(262.053Chhgt,100|0th,101514262.05gC).310107(265.45335hhgt所求规律为解3.某车间容积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每分钟2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?2CO%1.02CO2CO2CO%03.0设鼓风机开动后时刻的含量为2CO)%,(txt],[dttt则在内,2CO的通入量2CO的排出量%,03.02000dt)%,(2000txdt2CO的通入量2CO的排出量2CO的改变量03.0200012000dtdx),(2000txdt),03.0(61xdtdx,03.061tCex,1.0|0tx,07.0C,07.003.061tex,056.007.003.0|16ext6分钟后,车间内的百分比降低到%.056.02CO一、求下列微分方程的通解:1、0tansectansec22xdyyydxx；2、0)()(dyeedxeeyyxxyx；3、0)1(32xdxdyy.二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1、xdxyydyxsincossincos,40xy；2、0sin)1(cosydyeydxx,40xy.练习题三、质量克为1的质点受外力作用作直线运动,这外力和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在10t秒时,速度等于秒厘米/50,外力为2/4秒厘米克,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?四、小船从河边处点0出发驶向对岸(两岸为平行直线).设a船速为,船行方向始终与河岸垂直,设河宽h为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例k系数为).求小船的航行路线.练习题答案一、1、Cyxtantan；2、Ceeyx)1)(1(；3、Cxy433)1(4.二、1、xycoscos2；2、yexcos221.三、3.269v厘米/秒.四、取0为原点,河岸朝顺水方向为轴x,轴y指向对岸,则所求航线为)312(32yyhakx.