高中数学知识点总结

编写：Reigyotoo一、指数函数和对数函数1、指数函数：1)图像：y=ax(0＜a＜1且a≠1)y=ax(a＞1且a≠1)y=1y=12)运算法则：am∙an=am+nam÷an=am−n2、对数函数：1)图像：y=logax(0＜a＜1且a≠1)y=logax(a＞1且a≠1)x=1x=12)运算法则：logaM+logaN=loga(M∙N)logaM−logaN=loga(M÷N)logaMn=n∙logaMalogaN=N换底公式：logNM=logaMlogaN特别地：e为底数的记作ln，称为“自然对数”，10为底记作lg。1编写：Reigyotoo二、平面向量B1、向量的加法：1)三角形法则：AB�����⃗+BC�����⃗=AC�����⃗（首尾相连）ACDC2)平行四边形法则：AB�����⃗+AD�����⃗=AC�����⃗（合力）AB2、向量的减法：1)与向量a��⃗的模相等，方向相反的向量就是−a��⃗a��⃗−b���⃗=a��⃗+(−b���⃗)2)反推AB�����⃗+AD�����⃗=AC�����⃗AC�����⃗−AD�����⃗=AB�����⃗3、向量坐标的运算：设向量a��⃗(x1,y1)和b���⃗(x2,y2)a��⃗+b���⃗=(x1+x2,y1+y2)a��⃗−b���⃗=(x1−x2,y1−y2)λa�⃗=(λx1,λy1)a��⃗∙b���⃗=(x1·x2+y1·y2)|a��⃗|=�x2+y2推出★|𝐚𝐚���⃗|𝟐𝟐=(𝐚𝐚���⃗)𝟐𝟐𝐚𝐚���⃗∙𝐛𝐛���⃗=|𝐚𝐚���⃗|∙�𝐛𝐛���⃗�∙𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜→𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜=𝐚𝐚���⃗∙𝐛𝐛���⃗|𝐚𝐚���⃗|∙�𝐛𝐛���⃗�=𝐱𝐱𝟏𝟏∙𝐱𝐱𝟐𝟐+𝐲𝐲𝟏𝟏∙𝐲𝐲𝟐𝟐�𝐱𝐱𝟏𝟏𝟐𝟐+𝐲𝐲𝟏𝟏𝟐𝟐∙�𝐱𝐱𝟐𝟐𝟐𝟐+𝐲𝐲𝟐𝟐𝟐𝟐4、★向量位置关系的判断：设向量a��⃗(x1,y1)和b���⃗(x2,y2)x1y1交叉减，平行：x1y2‒x2y1=0x2y2直线加，垂直：x1x2+y1y2=02编写：Reigyotoo三、三角函数1、★诱导公式：1)相同的角：2kπ+α（k∈Z整数）2)函数名称不变：π-α，π+α，2π-α（即-α）3)函数名称改变：π2+α，π2−α4)目标函数符号判断：将原函数中的α看成锐角，看它变化后（就是π-α、π+α等）的角落在第几象限，再根据下表判断符号：例1：cos(π+α)1.将α看成锐角，那么π+α就在第三象限；2.π+α的函数名称不变，仍为cos；3.cos在第三象限为“‒”；4.因此cos(π+α)=‒cosα。例2：sin(π2+α)1.将α看成锐角，那么π2+α就在第二象限；2.π2+α的函数名称需改变，变为相对的sin；3.sin在第二象限为“+”；4.因此sin(π2+α)=cosα。第二象限sin为“+”第一象限全部为“+”第三象限tan为“+”第四象限cos为“+”3编写：Reigyotoo2、函数y=Asin(ωx+φ)的图像1)标准图像：记住两图像的0点，极值[-1,1]，周期2π单调区间：sinx[2kπ+π2，2kπ+3π2]下降[2kπ−π2，2kπ+π2]上升cosx[2kπ，2kπ+π]下降[2kπ+π，2(k+1)π]上升2)y=Asin(ωx+φ)的图像先平移，再横向，再纵向：1.先向左（+）或右（‒）平移|φ|个单位；2.再横向压缩ω倍（ω＞1）或拉伸1ω倍（0＜ω＜1）3.再纵向拉伸ω倍（ω＞1）或压缩1ω倍（0＜ω＜1）3)实际例子：已知y=Asin(ωx+φ)极值：[-A,A]，周期T=2πω单调区间：2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2得：1ω(2kπ+π2‒φ)≤x≤1ω(2kπ+3π2‒φ)-1.5-0.50.51.50π/4π/23/4ππ5/4π3/2π7/4π2πsincos4编写：Reigyotoo3、三角函数的恒等变换1)★两角和、差的正弦、余弦、正切：cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ同函数异号cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ同函数异号sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ异函数同号sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ异函数同号tan�α－β�=tanα−tanβ1+tanα∙tanβ上同下异tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα∙tanβ上同下异2)积化和差：sinα∙cosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]cosα∙sinβ=12[sin(α+β)−sin(α−β)]cosα∙cosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)]sinα∙sinβ=−12[cos(α+β)−cos(α−β)]3)积化和差：sinα+sinβ=2sinα+β2∙cosα−β2sinα−sinβ=2cosα+β2∙sinα−β2cosα+cosβ=2cosα+β2∙cosα−β2cosα−cosβ=−2sinα+β2∙sinα−β25编写：Reigyotoo4)★二倍角：sin2α=2sinα∙cosαcos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2αtan2α=2tanα1−tan2α5)半角：sinα2=±�1−cosα2cosα2=±�1+cosα2tanα2=±�1−cosα1+cosα4、★★正弦定理：𝐚𝐚𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬=𝐛𝐛𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬=𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬=𝟐𝟐𝟐𝟐(外接圆半径)引申：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC所以：a:b:c=2RsinA:2RsinB:2RsinC=sinA:sinB:sinC正弦求面积：𝐒𝐒=𝟏𝟏𝟐𝟐𝐚𝐚𝐛𝐛𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬=𝟏𝟏𝟐𝟐𝐛𝐛𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬=𝟏𝟏𝟐𝟐𝐚𝐚𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬5、★★★余弦定理：（必须倒背如流！）𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬=𝐛𝐛𝟐𝟐+𝐜𝐜𝟐𝟐−𝐚𝐚𝟐𝟐𝟐𝟐𝐛𝐛𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬=𝐚𝐚𝟐𝟐+𝐜𝐜𝟐𝟐−𝐛𝐛𝟐𝟐𝟐𝟐𝐚𝐚𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬=𝐚𝐚𝟐𝟐+𝐛𝐛𝟐𝟐−𝐜𝐜𝟐𝟐𝟐𝟐𝐚𝐚𝐛𝐛记忆：所求角余弦值为（夹边平方和－对边平方）÷2倍夹边6编写：Reigyotoo6、三角函数的经典题目：1)求sin2x+cos2x的值域、周期、单调区间。解：sin2x+cos2x=√2(sin2x∙√22+cos2x∙√22)=√2(sin2x∙π4+cos2x∙π4)=√2(sin2x+π4)∴值域：[−√2,√2]周期：T=2π/2=π单调增区间：2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2kπ−3π8≤x≤kπ+π8单调减区间：2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2kπ+π8≤x≤kπ+5π82)已知tanα=34，求sinα，cosα。解：∵tanα=sinαcosα=34∴sinα=34cosα由sin2α+cos2α=1(34cosα)2+cos2α=12516cos2α=1∴cosα=±45∴sinα=tanα∙cosα=34∙±45=±35∴sinα=+35，cosα=+45或sinα=−35，cosα=−457编写：Reigyotoo四、★★数列1、等差数列：𝟏𝟏)𝐚𝐚𝐬𝐬=𝐚𝐚𝟏𝟏+(𝐬𝐬−𝟏𝟏)𝐝𝐝𝟐𝟐)𝐒𝐒𝐬𝐬=𝐬𝐬(𝐚𝐚𝟏𝟏+𝐚𝐚𝐬𝐬)𝟐𝟐=𝐬𝐬𝐚𝐚𝟏𝟏+𝐬𝐬(𝐬𝐬−𝟏𝟏)𝟐𝟐𝐝𝐝3)等差中项：若a、b、c成等差数列，则a+c=2b推广：各项下标的和相等，则各项的和相等。例：1+5+9=2+6+7，则a1+a5+a9=a2+a6+a74)证明等差数列：an+1‒an=d(常数)或an‒an-1=d(常数)2、等比数列：𝟏𝟏)𝐚𝐚𝐬𝐬=𝐚𝐚𝟏𝟏𝐪𝐪𝐬𝐬−𝟏𝟏𝟐𝟐)𝐒𝐒𝐬𝐬=𝐚𝐚𝟏𝟏(𝟏𝟏+𝐪𝐪𝐬𝐬)𝟏𝟏−𝐪𝐪(𝐪𝐪≠𝟏𝟏)3)等比中项：若a、b、c成等比数列，则𝐚𝐚∙𝐜𝐜=𝐛𝐛𝟐𝟐推广：各项下标的和相等，则各项的积相等。例：1+5+9=2+6+7，则a1∙a5∙a9=a2∙a6∙a74)证明等比数列：𝐚𝐚𝐬𝐬+𝟏𝟏𝐚𝐚𝐬𝐬=𝐪𝐪�常数�或𝐚𝐚𝐬𝐬𝐚𝐚𝐬𝐬−𝟏𝟏=𝐪𝐪(常数)注意：有时候在计算的结果会出现形如3an+1=2an的等式，实际上已经得证，因为该等式可变形为：𝐚𝐚𝐬𝐬+𝟏𝟏𝐚𝐚𝐬𝐬=𝟐𝟐𝟑𝟑即公比为𝟐𝟐𝟑𝟑。3、数列求通项公式：将题目给出的关系式通过运算得到差为常数（等差）或商为常数（等比）。若题目给出Sn，则必有：an=Sn‒Sn-1（不能用Sn+1‒Sn，这样求出来的是an+1不是an）例：Sn=n2+12n解：an=Sn−Sn−1=n2+12n−�(n−1)2+12(n−1)�=2n−12=𝟐𝟐𝐬𝐬−𝟐𝟐+2−12�凑出n−1�=32+(n−1)∙28编写：Reigyotoo4、特殊数列求和：1)错位相减说明：凡是出现类似n·an、?·an等形式时，都用错位相减法。要注意an的n不一定是正数，也可以是负数，负的时候，要注意实际上每一项会是?𝑎𝑎𝑛𝑛的形式，同样用此方法。例：求数列和：Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n解：Sn=1×21+2×22+3×23+⋯(n−1)×2n+n×2n…①2Sn=1×22+2×23+3×24+⋯(n−1)×2n+n×2n+1…②②‒①得：2Sn−Sn=n×2n+1−1×21−22−23−⋯−2nSn=n×2n+1−(2+22+23+⋯+2n)�等比数列求和�Sn=n×2n+1−2(1−2n)1−2Sn=(n−1)×2n+1+22)积转差说明：凡是出现类似12×3、13×5、??×?等分母为两数的积的形式均可使用。例：求数列和：Sn=11×3+13×5+15×7+⋯+1(2n−1)(2n+1)解：原式=12(11−13+13−15+15−17+⋯+1(2n−1)−12(n+1))=12(1−12(n+1))=2n+14(n+1)9编写：Reigyotoo5、高级技巧——构造法：高考有时会出此类高难度题目，只有用构造法才可解，但比较难懂。1)已知a1=1，an+1=2an+1，求an。解：an+1=2an+1设存在k，令到：an+1+k=2(an+k)an+1=2an+2k-kan+1=2an+k对比原式an+1=2an+1可知k=1∴an+1+1=2(an+1)设bn=an+1，则bn+1=2bn又∵b1=a1+1=1+1=2∴bn是首项为2，公比为2的等比数列即bn=2·2n-1=2n又∵bn=an+1，∴an=bn‒1=2n‒12)已知a1=1，an+1=2an+n，求an。解：an+1=2an+n设存在k，令到：an+1+k(n+1)+m=2(an+kn+m)an+1+kn+k+m=2an+2kn+2man+1=2an+kn+m-k对比原式an+1=2an+n可知k=1，m=1∴an+1+(n+1)+1=2(an+n+1)设bn=an+n+1，则bn+1=2bn又∵b1=a1+1+1=1+1+1=3∴bn是首项为3，公比为2的等比数列即bn=3·2n-1又∵bn=an+n+1，∴an=3·2n-1‒n‒110编写：Reigyotoo3)已知a1=1，an+1=2an+2n，求an