复数

复数知识结构图复数概念表示运算代数表示几何表示代数运算几何意义高考要求1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义；2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算；3．了解从自然数到复数扩充的基本思想．讲座内容目录复数知识梳理1联系类比掌握复数2复数的高考考查形式3复数问题的思想方法4讲座内容知识梳理1.定义:形如a+bi（a、b∈R）的数叫做复数,其中i是虚数单位；注:①复数通常用字母z表示，即复数a+bi（a、b∈R)可记作z=a+bi（a、b∈R），并把这一形式叫做复数的代数形式②全体复数所组成的集合叫复数集，记作C③复数Z=a+bi(a、b∈R)，我们把实数a，b分别叫做复数的实部和虚部．2.复数的分类：复数a+bi（a∈R，b∈R）0)00)0)00)babbab实数(纯虚数(，虚数(非纯虚数(，dbca3.复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：,,,,Rdcba若dicbia则知识梳理4.复数的运算：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac－bd)+(bc+ad)i类似于多项式的加法、减法、乘法运算（1）复数的加法(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）复数的减法(a+bi)－(c+di)=(a－c)+(b－d)i（3）复数的乘法,,,)abcdR(以下的知识梳理4.复数的运算（4）复数的除法：()(),,,)abiabicdiabcdRcdi（))(())((dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac即分母实数化知识梳理2(1)2;ii①2(1)2.ii②1;1iii1.1iii③22.cdicdicd④1322i若，31则，2.复数运算的常用结论：⑤i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.复数z=a+bi（a∈R，b∈R）有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴------复平面一一对应z=a+bi知识梳理5.复数的几何意义xOz=a+biyZ(a,b)22ba与复数z=a+bi（a∈R，b∈R）对应的向量的模||，叫做复数z=a+bi的模，即为复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离OZOZ|z|=||||zz22bazzzz22||||复数的模的几何意义:xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)OZ1+OZ2=OZ符合向量加法的平行四边形法则6.复数加法运算的几何意义z1+z2知识梳理xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则复数减法运算的几何意义|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1,Z2的距离1.复数概念【例1】实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是：①实数；②虚数；③纯虚数；④共轭复数的虚部为12.【例1】实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是：①实数；②虚数；③纯虚数；④共轭复数的虚部为12.解析：z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i=(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i，(m∈R)，①要使z为实数，必须R,mmm,01522解得m=5或m=－3.②要使z为虚数，必须m2－2m－15≠0，解得m≠5且m≠－3.【例1】实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是：①实数；②虚数；③纯虚数；④共轭复数的虚部为12.解：z=(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i，(m∈R)，,0152,06522mmmm,53,23mmmm且或③要使z为纯虚数，必须即∴m=－2.④要使z的共轭复数的虚部为12，必须－(m2－2m－15)=12，解得m=－1或m=3.【例1】实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是：①实数；②虚数；③纯虚数；④共轭复数的虚部为12.点评：解决复数概念问题的方法是按照题设条件把复数整理成z=)R,(babia的形式，明确复数的实部与虚部，由实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的.2.复数运算两个复数相加、相减、相乘，类似于两个多项式相加、相减、相乘，只是在所得的结果中要把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.【例2】若复数其中是虚数单位，则复数的实部为.12429,69,zizii12()zzi12()[(429)(69)](220)202zziiiiiii解：【点评】本题考查复数的减法、乘法运算，以及复数实部的概念；类比运算即可.－20.复数除法运算ii15【例3】的值等于________.点评：掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础，也是重点，要牢记复数的四种运算法则.分析：本题考查复数的除法运算，根据复数的除法运算法则即可解决.解析：2)15()15()1)(1()1)(5(15iiiiiii=2+3i.4.复数的几何意义实数与数轴上的点是一一对应的；类似的，复数与复平面内的点是一一对应的.)R,(babia(,)ab.212mizi(,mRi【例4】复数在复平面上对应的点不可能位于第象限.为虚数单位)41,mm40,m21m（）0所以不可能同时有故对应的点不可能位于第一象限.21(4)2(1),125mizmmii解：考查复数的基本概念与运算例1．若（其中是虚数单位，是实数），则．点评：对复数的基本问题不能放松要求，诸如复数是虚数、纯虚数的条件，复数相等的条件，复数模的几何性质等都要熟练掌握；对复数问题实数化的基本方法要清楚.biii44)2(ibb解析：∵，∴由已知得，∴．iiiii84484)2(2bii4848b考查复数的几何意义例2．满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是．解析：因为|z-i|=|3+4i|=5，∴复数z对应的点Z与复数i对应的点(0,1)之间的距离为5，由圆的定义知，复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是：以复数i对应的点(0,1)为圆心、5为半径的圆.点评：本题直接利用复数的几何意义求解，对于复数模的问题，一般可化为复平面内两点间的距离来解决.1.实数化—根据复数相等的定义解决复数问题，要注意复数问题实数化的方法，即利用复数相等的概念，把复数问题转化为实数问题，这是解决复数问题的最常用策略.【例1】设(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是，则z2的虚部为.211zziz1z1则有ixyyxyixiyixziz)()()()(11由已知211zziz结合复数相等的概念得21,zbi1,zxyi解析：设(,,xyb都是实数），,,1xybyx∴1b，即z2的虚部为1.1.实数化—根据复数相等的定义【例2】z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i对应的点：①在第三象限；②在x+y+4=0上.解析：z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i=(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i，∵m∈R，∴z对应的点为:（m2+5m+6，m2－2m－15）；015206522mmmm32,35,mm①要使z对应的点在第三象限，必须∴－3m－2；②要使z对应的点在直线x+y+4=0上，必须点的坐标(m2+5m+6，m2－2m－15)满足方程x+y+4=0，∴(m2+5m+6)+(m2－2m－15)+4=0，解得m=－25或m=1.2.坐标化—根据复数与点的对应【例3】复平面内，已知复数z=x－i所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是________.31分析：本题可根据复数与向量的对应关系，构造不等式，求未知数的范围.221()1,3x即2222.33x解得.311,OZ解析：∵复数z对应的点Z(x，－都在单位圆内，)3.向量化—根据复数与向量的对应4.图形化—根据复数的几何意义由复数减法运算的几何意义可得出以下性质：|z1－z2|表示复平面内与z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．1z(23)zi【例4】已知，求的最值．解析：(23)zi(2,3)A表示单位圆上的点与点的距离，由平面几何知识可得(23)zi1,OA的最大值为131;即为1OA131.最小值为，即AZ1Oｚ1,z以原点O为圆心、半径为1的圆，即单位圆；∴与复数z对应的点Z的轨迹是4.图形化—根据复数的几何意义