模型解题法-高中数学-模型十五-角模型

模型十五角模型（一）单角模型我们在解决三角函数问题的时候经常遇到这样一类题目：题目只涉及一个未知角或者已知非特殊角，通过二倍或者与已知特殊角的组合，加上各种三角函数的综合使用，使得题目形式变化多各类，丰富多彩，那么在相关的题目中是如何体现这种角的组合，以及三角函数的综合使用的呢?例1化简𝑦=√1+2sin(𝜋−2)cos(𝜋+2)的结果是（）.A.−sin2−cos2B.sin2+cos2C.sin2−cos2D.−sin2+cos2例2已知1+tan𝛼1−tan𝛼=3+2√2，求：（1）sin𝛼+2cos𝛼2sin𝛼−cos𝛼；（2）3cos2(𝜋−𝛼)+sin(𝜋+𝛼)⋅cos(𝜋−𝛼)+2sin2(𝛼−𝜋)的值.例3（1）设cos(−𝑥)=cos|𝑥|，则𝑥的取值范围是____；（2）设cos(−𝑥)=|cos𝑥|，则𝑥的取值范围是____；（3）设sin(−𝑥)=sin|𝑥|，则𝑥的取值范围是____；（4）设sin(−𝑥)=|sin𝑥|，则𝑥的取值范围是____.例4已知sin𝜃+cos𝜃=15,𝜃∈(0,𝜋),则tan𝜃=____.例5已知关于𝑥的方程2𝑥2−(√3+1)𝑥+𝑚=0的两根为sin𝜃和cos𝜃,𝜃∈(0,2𝜋),求：（1）sin2𝜃sin𝜃−cos𝜃+cos𝜃1−tan𝜃的值；（2）𝑚的值；（3）方程的两根及𝜃的值.模型归纳有关三角函数的运算，当只出现一个未知角，但伴随与特殊角的组合或多种三角函数综合使用使三角运算丰富多样，要解决这些问题，我们需要掌握一个基本原则，那就是“化简”，使用的公式包括同角三角函数基本关系式和诱导公式.同角三角函数基本关系式有两个：sin2𝛼+cos2𝛼=1，tan𝛼=sin𝛼cos𝛼.在使用同角三角函数基本关系式的时候需要注意：（1）多种函数同时出现时，要正切化弦；（2）正余弦互求时，通过角的范围确定正负．诱导公式比较多，总的口诀是：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇偶”是指在未知角上附加的角是𝜋2的多少倍，如果是奇数倍，名称需要改变，如果是偶数倍，名称不改变；“符号看象限”是指借助当未知角为锐角时，组合角所在象限所决定的三角函数的正负，来确定是否添加负号.例如sin(𝜋2+𝛼)中，未知角𝛼上附加的角符号看象限是𝜋2的一倍（奇数倍），因此名称改变，另外当𝛼为锐角时，𝜋2+𝛼为第二象限角，sin(𝜋2+𝛼)0，因此sin(𝜋2+𝛼)=cos𝛼.这类题目的解题模型是：用诱导公式将角统一，排除特殊附加角的干扰→使用同角三角基本关系式，尽量做到：函数种类、项数减少，次数降低，分式化为整式，无理式化为有理式→保留结果：数字或者最简的三角函数式模型演练1.已知cos(𝜋+𝛼)=−35，𝛼为第四象限角，则sin(−2𝜋+𝛼)=（）.A.35B.−45C.±45D.352.已知tan𝑥=13，求（1）2sin𝑥−cos𝑥sin𝑥+cos𝑥；（2）2sin2𝑥+sin𝑥cos𝑥.（二）多角模型我们解决完一个角的三角函数问题之后，开始研究多个角的和或差的三角函数，这种问题不仅在题设和问题构造上变化多样，而且综合使用正弦、余弦和正切函数的和角或差角公式，使问题难度加大，能够发现和研究多个角之间的关系，以及研究不同角三角函数值之间的关系是解决多角问题的关键，那么在具体的题目当中，是如何构建多角问题，以及如何考查和、差角公式呢?例1求cos10°sin50°(tan10°−√3)的值.例2已知tan(𝛼+𝛽)=7,tan𝛼⋅tan𝛽=35,求sin𝛼的值.例3若𝛼∈(0,𝜋),cos(𝛼+𝜋6)=35，求sin𝛼的值.例4已知π2𝛽𝛼3𝜋4,cos(𝛼−𝛽)=1213,sin(𝛼+𝛽)=−35，求sin𝛼的值.例5已知sin(𝑥+𝑦)=13,sin(𝑥−𝑦)=15,求tan𝑥tan𝑦的值.例6已知sin𝛼=√55,sin𝛽=√1010,且𝛼,𝛽都是锐角，求𝛼+𝛽的值.例7已知tan(𝛼−𝛽)=12,tan𝛽=−17,且𝛼,𝛽∈(0,𝜋),求2𝛼−𝛽的值.模型归纳对于角之间的关系，我们应该辩证地来看，比如当把𝛼+𝛽看成𝛼与𝛽的和不方便解决问题时，也可以把𝛼看成𝛼+𝛽与𝛽的差，再如2𝛼−𝛽可以看成𝛼乘以2再与𝛽作差，也可以看成𝛼与𝛼−𝛽的和，或者看成𝛼−𝛽的2倍与𝛽的和等等.对于多角三角函数的关系问题，主要是对和差角公式的结构的研究，比如，sin(𝛼−𝛽)=sin𝛼cos𝛽−cos𝛼sin𝛽中共涉及到三个角𝛼−𝛽、𝛼和𝛽，五个三角函数sin(𝛼−𝛽)、sin𝛼、cos𝛽和sin𝛽，没有涉及𝛼−𝛽的余弦，针对这一特点，我们将未知（待求）于等式左侧，两个已知（条件）于等式右侧.对于弦函数和切函数同时出现的时候，除非出现弦函数齐次式，一般都需要将切函数化为弦函数.对于给值求角的题目，通常是借助角的某一个三角函数来求，需要注意两点：（1）三角函数种类的选用，以不造成多解可能为宜，比如当角的范围为[0,𝜋]时，尽量不选用正弦，因为正弦值求完之后如果不等于，确定它是锐角或钝角比较麻烦，可以考虑使用余弦；（3）三角函数值算完以后，尽量确定该角尽量小的一个范围，以确定该角的具体取值.对于同一个角的正弦和余弦的组合，我们通常是逆向使用和差角的正余弦公式，以达到化简的目的，比如sin𝛼+√3cos𝛼=2sin(𝛼+𝜋3)等.这类题目的解题模型是：分析各个角之间的和或者差的关系，注意辩证使用→根据题目条件和特点，结合角之间的关系选用恰当的和差角公式→根据选用公式的结构特点，使用恰当的运算技巧，进行相关运算模型演练1.锐角𝛼,𝛽满足cos𝛼=45,cos(𝛼+𝛽)=35,则sin𝛽=（）.A.1725B.35C.725D.152.已知cos𝛼−cos𝛽=12,sin𝛼−sin𝛽=−13,则cos(𝛼−𝛽)=（）.A.5972B.5173C.1336D.12133.已知sin𝛼+sin𝛽+sin𝛾=0,则cos(𝛽−𝛾)=（）.A.−1B.−12C.12D.1（三）倍角模型二倍关系是两个角之间一种非常特殊的关系，二倍角公式是三角函数的一种重要变形，其表现形式多样，有时比较直接，有时不是特别明显，二倍角公式及其变形公式是解决三角函数问题的一种重要手段，也是考查的一个重要内容.那么二倍关系在题目当中如何体现，二倍角公式又是如何考查的呢?精选例题例1求值：cos𝜋5cos2𝜋5.例2已知𝛼为锐角，且tan12，求sin2𝛼cos𝛼−sin𝛼sin2𝛼cos2𝛼的值.例3化简：1+cos𝜃−sin𝜃1−sin𝜃−cos𝜃+1−cos𝜃−sin𝜃1−sin𝜃+cos𝜃.例4求函数sin2𝑥+2sin𝑥cos𝑥+3cos2𝑥的最大值，及相应𝑥的值.例5己知sin2𝜃=𝑎,𝜃∈(𝜋2,3𝜋4)，那么sin𝜃+cos𝜃=____.模型归纳对于二倍角的余弦公式，我们需要记住几个重要变形：1+cos2𝛼=2cos2𝛼,1−cos2𝛼=2sin2𝛼,cos2𝛼=1+cos2𝛼2,sin2𝛼=1−cos2𝛼2等，另外我们需要了解二倍角公式及其变形公式的结构特点是：协调角的倍数和三角函数的次数的关系，如cos2𝛼=2cos2𝛼−1等号左边角2倍，三角发次数1次，等号右边角1倍，三角函数次数2次.了解这一特点，我们可以权据题目的要求，在倍数与次数之间进行转化，比如例4，减小次数，增大倍数.对于二倍角的正弦公式sin22𝛼=2sin𝛼cos𝛼，我们关注角倍数与三角函数次数情报同时，我们还应关另一个细节，就是关于三角函数的名称，等号左侧只有一个正弦，等号右侧一个正弦，一个余弦，这就意味着：正向使用公式，派生出一个余弦；逆向使用公式，隐藏掉一个余弦.比如例1，题目所涉及两个角有2倍关系，可以考虑使用二倍角公式，另外以余弦形式出现，可以考虑逆向使用二倍角正弦公式，以求将余弦逐个隐藏.我们还应记住几个和1有关的二倍角公式变形：1+sin2𝛼=(sin𝛼+cos𝛼)2,1−sin2𝛼=(sin𝛼−cos𝛼)2这类题目的解题模型是：根据题目的结构特点，确定已知与待求之间角的关系：倍角关系选择适当的二倍角公式或变形公式先利用公式进行变形转化，再将复杂式子化简或求值模型演练1.若25𝜋≤𝛼3𝜋，则√2+2cos𝛼+√1−sin𝛼−|sin𝛼2+cos𝛼2|可化简为A.0B.2(cos𝛼2−sin𝛼2)C.−2(cos𝛼2−sin𝛼2)D.2cos𝛼22.已知𝑓(𝑥)=√1+𝑥，当𝜋≤𝜃54𝜋时，𝑓(sin2𝜃)−𝑓(−sin2𝜃)为A.2sin𝜃B.−2sin𝜃C.−2cos𝜃D.2cos𝜃3.cos2𝜋15cos4𝜋15cos8𝜋15cos16𝜋15的值为____.（四）三角函数线模型模型思考三角函数线是借助有向线段来表示三角函数的方法，是三角函数的图形表示，但是我们在做题的时候，单纯使用三角函数线有时并不是十分快捷，为了快捷有效地解决问题，我们可以考虑将三角函数线进行改造，得到改良后的三角函数线即我们所说的“大风车”模型，那么什么是“大风车”，“大风车”又该如使使用以及解决什么问题呢?精选例题例1求满足sin𝛼12的角𝛼的取值范围.例2若𝐴是△𝐴𝐵𝐶的内角，则sin𝐴+cos𝐴的取值范围是____.例3由不等式组{sin𝛼−cos𝛼0cos𝛼+sin𝛼0,所确定的角的𝛼取值范围是____.例4如果𝛼是第三象限角，且满足√1+sin𝛼=cos𝛼2+sin𝛼2，那么𝛼2是A.第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角例5设0≤𝛼𝜋2，比较sin𝛼与cos𝛼的大小关系.例6设𝛼,𝛽是第二象限角，那么下列结论正确的是（）A.tan𝛼tan𝛽B.tan𝛼tan𝛽C.cos𝛼sin𝛼D.cos𝛼sin𝛼例7已知sin𝛼cos𝛽，那么下列结论成立的是（）A.若𝛼,𝛽是第一象限角，cos𝛼cos𝛽B.若𝛼,𝛽是第二象限角，tan𝛼tan𝛽C.若𝛼,𝛽是第三象限角，cos𝛼cos𝛽D.若𝛼,𝛽是第四象限角，tan𝛼tan𝛽例8若𝛼,𝛽为锐角，且cos𝛼sin𝛽，则（）A.𝛼+𝛽𝜋2B.𝛼+𝛽𝜋2C.𝛼+𝛽=𝜋2D.𝛼𝛽模型归纳通过分析，我们可以发现借助“大风车”图示，可以快捷有效地进行同角不同函数或不同角同一三角函数的大小比较或解决取值范围的问题.我们将各种“大风车”总结如下：（1）正弦特点是：左右对称，向上集中.（2）余弦特点是：上下对称，向右集中.（3）正切特点是：单向旋转，上下无穷（4）sin𝛼+cos𝛼特点是：左下最小，右上集中（5）sin𝛼−cos𝛼特点是：右下最小，左上集中这类题目的解题模型是：确定比较项：同角不同函数或同函数不同角通过选定的比较项，确定适归的“大风车”模型通过模型比较不同角或不同函数值的大小确定角或三角函数值的取值范围（五）和“1”有关的三角函数模型模型思考数字1作为数字的基本单位，在三角函数的运算中却有着广泛的应用，无论是特殊角三角函数值还是三角公式，无处不有1的影子，发现它，利用它，可以快速有效地解决在关三角函数的问题.那么，1是如何在题目中藏身，又是如何发挥它的作用的呢?精选例题例1已知sin4𝛼+cos4𝛼=1，那么sin𝛼+cos𝛼=____.例2已知sin𝛼+cos𝛽=1,cos𝛼+cos𝛽=1，则sin𝛼+cos𝛼=__