高等数学函数的微分教学ppt

第二章导数与微分第一节导数的概念第二章导数与微分第一节导数的概念第二节导数的计算第三节函数的微分第二章导数与微分第一节导数的概念第三节函数的微分本节主要内容:一.微分的概念二.微分的几何意义三.微分的基本公式及运算法则四.微分的近似计算第二章导数与微分第一节导数的概念3一.微分的概念引例：一块正方形金属片受热后其边长x由x0变到x0x考查此薄片的面积A的改变情况.0xxxx020xAxx02)(x因为Ax2所以金属片面积的改变量为A(x0x)2(x0)22x0x(x)2)1(:)1(;,的主要部分且为的线性函数Ax)2(:)2(.,很小时可忽略当的高阶无穷小xxA≈2x0x第二章导数与微分第一节导数的概念4定义2.3.1若函数y=f(x)的增量y可表示为y=f(x0+x)-f(x0)=Ax+(x)(x0),其中A与x无关,则称y=f(x)在x0可微,且称Ax为f(x)在x0的微分，记作即.00ddxxxxyf或0dxxyAxyf(x)在点x0可微yAxo(x)，即dy=Ax第二章导数与微分第一节导数的概念5定理2.3.1函数y=f(x)在x0可微的充要条件是y=f(x)在x0可导．当y=f(x)在x0可微时，有00d()xxyfxx通常把自变量的增量x称为自变量的微分,记做dx,则函数y=f(x)的微分可记做dy=f(x0)dx,从而有()dyfxdx()dyfxdx第二章导数与微分第一节导数的概念6例1求函数y=3x2在x=1处x分别为0.1和0.01的增量与微分.解:1d60.10.6;xy0.1:x22310.1310.63,y1d60.010.06.xy0.01:x22310.01310.0603,y第二章导数与微分第一节导数的概念7二.微分的几何意义如图所示，PN=dx，NM=y，NT=PNtan=f(x)dx，所以dy=NT，即函数y=f(x)的微分dy就是曲线y=f(x)在点P处切线的纵坐标的增量，而y就是曲线y=f(x)的纵坐标的增量.xyo)(xfy0xPT）xx0Mxydy)(xoTN第二章导数与微分第一节导数的概念8三.微分的基本公式及运算法则d(xm)mxm1dxd(sinx)cosxdxd(cosx)sinxdxd(tanx)sec2xdxd(cotx)csc2xdxd(secx)secxtanxdxd(cscx)cscxcotxdxd(ax)axlnadxd(ex)exdx(xm)mxm1(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx(ax)axlna(ex)ex微分公式:导数公式:第二章导数与微分第一节导数的概念9axxaln1)(logxx1)(ln211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cotarc(xxdxaxxdaln1)(logdxxxd1)(lndxxxd211)(arcsindxxxd211)(arccosdxxxd211)(arctandxxxd211)cotarc(微分公式:导数公式:第二章导数与微分第一节导数的概念10微分的四则运算求导法则微分法则(uv)uv(Cu)Cu(uv)uvuv)0()(2vvvuvuvud(uv)dudvd(Cu)Cdud(uv)vduudv)0()(2vdxvudvvduvud第二章导数与微分第一节导数的概念11例2求y=x2arctanx的微分.解:2darctanydxx22arctanarctanxdxxdx222arctan1xxxdxdxx第二章导数与微分第一节导数的概念12例3求函数y=lnx/x的微分.解:1dnxydx21lnxdnxxdxx21lnxdxx第二章导数与微分第一节导数的概念13(1)若u是自变量，dy=f(u)du；复合函数的微分法则()dd,xxud()d.yfuu结论：的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyxdxxfdy)(一阶微分形式的不变性设函数y=f(u)有导数f(u).(2)若u是中间变量，可以令u(x)，即yf[(x)]dyyxdxf(u)(x)dx第二章导数与微分第一节导数的概念14例4求y=sin23x的微分.解:2dsin3ydx2sin3sin3xdx2sin3cos33xxdx6sin3cos3xxdx第二章导数与微分第一节导数的概念15例5求的微分.3415yxx解:3d415ydxx3415dxdxd33141021dxx233421xdxx第二章导数与微分第一节导数的概念16xxexexxx222111cosd()(sin)d()xexxxxx22111(2cossin)d.例6求的微分.xyex21cosxxyeexx2211dcosd()d(cos)解:第二章导数与微分第一节导数的概念17例7（参数方程求导法则）设参数方程中x(t),y(t)对t可导，且x(t)0,求．yyttyttxxttxtd()d(),[,]d()d()xxttyyttxtd()d,d()d,()0,xxttyyt()[,](),yxdd解:第二章导数与微分第一节导数的概念18四.微分的近似计算当函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)0且|x|很小时我们有ydyf(x0)x若令xx0Dx即Dxxx0那么又有f(x0x)f(x0)dyf(x0)xf(x0x)f(x0)f(x0)xf(x)f(x0)f(x0)x特别当x00时有f(x)f(0)f(0)x用来求函数增量的近似值用来求函数值的近似值求函数在x=0附近的近似值第二章导数与微分第一节导数的概念19常用近似公式)(很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn为弧度为弧度第二章导数与微分第一节导数的概念20例8求的近似值．sin3030'sin3030sin()sincos636066360130.507622360令f(x)=sinx取辅助函数找邻近于x=3030的一点x0代入公式f(x)f(x0)f(x0)x取x0=30,则x=30=360,f(x)=cosx,则f(x0)=cos362解:第二章导数与微分第一节导数的概念21例9求的近似值．3653316564141,64x11,643311654(1)4.0208364xx(1)1解:第二章导数与微分第一节导数的概念22内容小结一.微分的概念二.微分的几何意义三.微分的基本公式及运算法则