序列相关性(自相关)

一、序列相关的概念序列相关的含义在古典线性回归模型中，我们假定随机误差项序列的各项之间独立，即Cov(i,j)=E(ij)=0。任一次观测的干扰项都不受任何其他观测的干扰项影响例：上月某个特殊事件对家庭消费支出产生的影响不会波及到本月的消费支出。如果上述假定不满足，则称之为序列相关，即：Cov(i,j)=E(ij)≠0称为一阶序列相关，或自相关（autocorrelation）其中：被称为自协方差系数（coefficientofautocovariance）或一阶自相关系数（first-ordercoefficientofautocorrelation）i是满足以下标准的OLS假定的随机干扰项：如果仅存在E(ii-1)0i=1,2,…,n自相关往往可写成如下形式：i=i-1+i-110)(iE,2)var(i,0),cov(sii0s由于序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模型中，因此，本节将用下标t代表i。二、序列相关产生的原因惯性：如GNP、价格指数、生产、失业等时间序列都呈现商业循环，相继的观测值很可能是相依赖的。设定偏误：不正确的函数形式或应含而未含变量都会使干扰中观察到序列相关性。从而可能造成自相关。就会出现系统模式：猪肉价格则随机扰动项收入牛肉价格牛肉需求量如果我们用的模型是：猪肉价格收入牛肉价格牛肉需求量ttttttttttttuvvu43214321，会造成自相关。如果我们忽略了滞后项消费收入消费tttt1321序列相关产生的原因（续）蛛网现象：许多农产品的供给表现出一种所谓的蛛网现象例如供给对价格的反应要滞后一个时期，即今年作物的种植量是受去年流行的价格影响的，因此，相关的函数形式是：121tttSP这种现象就不能期望扰动项是随机的计量经济学模型一旦出现序列相关性，如果仍采用OLS法估计模型参数，则OLS估计量仍然是现性无偏估计量，但是会产生下列不良后果：三、序列相关性的后果1、参数估计量非有效因为，在有效性证明中利用了E(NN’)=2I即同方差性和无序列相关假设。2、变量的显著性检验失去意义在变量的显著性检验中，统计量是建立在参数方差正确估计基础之上的，这只有当随机误差项具有同方差性和无序列相关时才能成立。如果存在序列相关，参数估计量的方差出现偏误（偏大或偏小），t检验就失去意义。其他检验也是如此。3、模型的预测失效区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精度降低。所以，当模型出现序列相关性时，它的预测功能失效。然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相关性，以判断随机误差项是否具有序列相关性。序列相关性检验方法有多种，但基本思路相同：基本思路:四、序列相关性的检验首先，采用OLS法估计模型，得到残差作为随机误差项的估计。首先，采用OLS法估计模型，以求得随机误差项的“近似估计量”，用~ei表示：lsiiiYYe0)ˆ(~1。图解法：时间序列图（TimeSequenceplot):将残差对时间描点。如图（a）所示，扰动项的估计值呈循环形，并不频繁地改变符号，而是相继若干个正的以后跟着几个负的，表明存在正自相关。将et对et-1描点图，如图（b）所示。t(a)etetet-1(b)(c)如（c）图所示，扰动项的估计值呈锯齿状，随时间逐次改变符号，表明存在负相关。tt1tt2、杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法D-W检验是杜宾（J.Durbin）和瓦森(G.S.Watson)于1951年提出的一种检验序列自相关的方法，该方法的假定条件是：（1）解释变量X非随机；（2）随机误差项t为一阶自回归形式：t=t-1+t（3）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量，即不应出现下列形式：Yt=0+1X1t+kXkt+Yt-1+t（4）回归含有截距项该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系，因此其精确的分布很难得到。但是，他们成功地导出了临界值的下限dL和上限dU，且这些上下限只与样本的容量n和解释变量的个数k有关，而与解释变量X的取值无关。杜宾和瓦森针对原假设：H0:=0，即不存在一阶自回归，构如下造统计量：nttnttteeeWD12221~)~~(..D.W.统计量:dL244-dL0dU4-dU正相关无自相关负相关d不确定不确定D.W检验步骤:（1）计算DW值（2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界值dL和dU（3）比较、判断若0D.W.dL存在正自相关dLD.W.dU不能确定dUD.W.4－dU无自相关4－dUD.W.4－dL不能确定4－dLD.W.4存在负自相关当D.W.值在2左右时，模型不存在一阶自相关。证明：展开D.W.统计量：nttntntnttttteeeeeWD122221212~~~2~~..(*))1(2)~~~1(2..1221nttnttteeeWD如果存在完全一阶正相关，即=1，则D.W.0完全一阶负相关，即=-1,则D.W.4完全不相关，即=0，则D.W.2这里，nttntttnttnttteeeeee22211221~~~~~~为一阶自回归模型i=i-1+i的参数估计。)1(2)~~~1(2..1221nttnttteeeWD3、回归检验法tttee1~~tttteee2211~~~……如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。回归检验法的优点是：（1）能够确定序列相关的形式，（2）适用于任何类型序列相关性问题的检验。以te~为被解释变量，以各种可能的相关量，诸如以1~te、2~te、2~te等为解释变量，建立各种方程：4、高阶自相关的BG检验拉格朗日乘数检验克服了DW检验的缺陷，适合于高阶序列相关以及模型中存在滞后被解释变量的情形。它是由布劳殊（Breusch）与戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也被称为BG检验。对于模型如果怀疑随机扰动项存在p阶序列相关：tptpttt2211tktktttμXβXβXββY22110则可按如下步骤最检验：OLS估计原模型并得到残差et做et对模型中全部回归元和附加回归元et-1,et-2,…,et-p的回归，得到R2。tptp1t1ktk2t21t10teeXXXe原假设H0:1=2=…=p=0H0为真时，大样本下)(~)(22pRpnLM给定，查临界值2(p)，与LM值比较，做出判断，实际检验中，可从1阶、2阶、…逐次向更高阶检验。五、序列相关的修正自相关结构已知时的修正——广义差分法广义差分法是将原模型变换为满足OLS法的差分模型，再进行OLS估计。)2()1()1(1121121121ttttttttttttuXYuXYuuuXYAR为例。以双变量回归模型和t遵循0均值、同方差、无序列相关的各条OLS假定BLUEOLS)()()1(:)2()1(*2*1*11211得到可用—满足全部经典假定，—tttttttttXYXXYY广义差分方程，失去一次观测ikikiiiXXXY22110更一般地，如果原模型存在tltlttt2211则可以将原模型变换为:)()1(1111111011ltlttlltlttXXXYYYtlktlktktkXXX)(11该模型为广义差分模型，不存在序列相关问题。可进行OLS估计。未知时序列相关的修正应用广义差分法，必须已知随机误差项的相关系数1,2,…,p。实际上，人们并不知道它们的具体数值，所以必须首先对它们进行估计。（1）用DW统计量估计21ˆ)ˆ1(2dd（2）科克伦-奥克特两步法做原模型的OLS估计，得到残差et做回归：估计用作广义差分方程的回归，求回归系数。tttee1ˆ（3）德宾两步法将广义差分方程写为：将上式看作一复回归模型，求Yt对Xt，Xt-1和Yt-1的回归，并把对Yt-1的回归系数的估计值（）看作对的一个估计。虽然这个估计值有偏误，它却是的一个一致性估计。求得后，把变量换为对转换变量形成的广义差分方程做OLS估计。tttttYXXY11221)1(ˆˆ1*1*ˆ,ˆttttttXXXYYY虚假序列相关问题由于随机项的序列相关往往是在模型设定中遗漏了重要的解释变量或对模型的函数形式设定有误，这种情形可称为虚假序列相关(falseautocorrelation)，应在模型设定中排除。避免产生虚假序列相关性的措施是在开始时建立一个“一般”的模型，然后逐渐剔除确实不显著的变量。例1美国零工招聘指数与失业率数据如表。回归模型设为：其中：HWI:零工招聘指数，U:失业率tttUHWIlnln21先验符号？24911.0)612.21()83.65(:955.0)0711.0()111.0(:ln538.1308.7ˆln2NdtrseUIHWtt查表，N=24,一个解释变量，5%的DW临界值：dL=1.27,dU=1.45，0d=0.911dL，正序列相关UnstandardizedResidual.10.0-.1-.2LAGS(RES_1,1).10.0-.1-.2ScatterplotDependentVariable:LNHWIRegressionStandardizedPredictedValue2.01.51.0.50.0-.5-1.0-1.5RegressionStandardizedResidual1.51.0.50.0-.5-1.0-1.5-2.0)0711.0()111.0(:ln538.1308.7ˆlnseUIHWtt例1美国零工招聘指数与失业率序列相关修正，估计用DW统计量估计科克伦-奥克特两步法德宾两步法科-奥两步法结果：5445.02911.0121ˆd546.0ˆ795.0ˆ一般对大样本来说，用哪种方法区别不大。但是对小样本则不同。而且没有一种方法总是优于其他方法。科-奥两步法较常用。761.1858.0)269.11()96.35(:21.7546.01273.3)131.0()091.0(:)ˆ1(273.3ln471.1273.3nˆl211**drtseUHWItt)131.0(:ln471.121.7nˆlseUHWI最终结果)0711.0()111.0(:ln538.1308.7ˆlnseUIHWtt比较ScatterplotDependentVariable:LQRegressionStandardizedPredictedValue1.51.0.50.0-.5-1.0-1.5-2.0RegressionStandardizedResidual3210-1-2例2我国1980-2001年发电量与GDP0.488DW3807.5F995.0R(0.008)08).0(:se488lnGDP.0911.3qˆln2对数模型lnqi=0+1lnxi+i存在序列相关BG检验：LMtttteee2211~~~3.31F193).0(182).0(se879e.0429e.1eˆ2t1tt序列相关修正)