小升初-数学-几何-五大几何模型

一、等积模型DCBA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCDSS△△；反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．知识框架五大几何模型二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABCADESSABACADAE△△(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S4S3S2S1ODCBA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::SSab②221324::::::SSSSababab；③S的对应份数为2ab．④ABCDObaS3S2S1S4四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型GFEABCDABCDEFG①ADAEDEAFABACBCAG；②22:ADEABCSSAFAG△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则SPMPABSQMQAB特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB一、三角形相似模型【例1】图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?101010【【巩巩固固】】如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，:3:1BGGC，则四边形EFGH的面积________．例题精讲第3题HGFEDCBA【例2】已知三角形ABC的面积为a，:2:1AFFC，E是BD的中点，且EF∥BC，交CD于G，求阴影部分的面积．ABCDEGF【【巩巩固固】】图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？ABCDEFG【例3】如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？34OFEDCBA【【巩巩固固】】ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米．OMABCDEF二、蝴蝶模型【例4】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形EFGO的面积为______．158OGFEDCBA【巩固】如图5所示，矩形ABCD的面积是24平方厘米，、三角形ADM与三角形BCN的面积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米。OPNMDCBA【例5】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形DEFG的面积48，:1:3AKKB，则BKD的面积是多少？KGFEDCBA【【巩巩固固】】如图所示，ABCD是梯形，ADE面积是1.8，ABF的面积是9，BCF的面积是27．那么阴影AEC面积是多少？FEDCBA【例6】如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为．【【巩巩固固】】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()mn的值等于．ABCDEFGHHGFEDCBA三、共角定理（燕尾定理）【例7】如图所示，在四边形ABCD中，3ABBE，3ADAF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边形BODC的面积为________．OFEDCBA【【巩巩固固】】正六边形1A，2A，3A，4A，5A，6A的面积是2009平方厘米，1B，2B，3B，4B，5B，6B分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．A6B4B5B3B2B6B1A5A4A3A2A1【例8】已知四边形ABCD，CHFG为正方形，:1:8SS乙甲，a与b是两个正方形的边长，求:?ab乙甲baGHOFEDCBA【【巩巩固固】】如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFEDCBA【例9】如右图，面积为1的ABC△中，::1:2:1BDDEEC，::1:2:1CFFGGA，::1:2:1AHHIIB，求阴影部分面积．IHGFEDCBA【【巩巩固固】】如图，ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？KJIHABCDEFG【例10】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.IGHFEDCBA【【巩巩固固】】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求中心六边形面积.IGHFEDCBA【随练1】如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且2CEBE，2CFDF，连接BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为1S，正方形PCNG的面积为2S，则12:SS___________．QPNMABCDEFG【随练2】如图所示，三角形AEF，三角形BDF,三角形BCD，都是正三角形，其中AE:BD=1:3,三角形AEF的面积是1.求阴影部分的面积。HGJIFEDCBA【【作作业业11】】如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？课堂检测家庭作业【【作作业业22】】如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？⑥⑤④③②①BFEDCA【【作作业业33】】如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且2CDAB，点E、F分别是AD和BC的中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米．FEABCDMN【【作作业业44】】一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积比依次为1:4:41．那么，④、⑤这两块的面积比是______．⑤④③②①【【作作业业55】】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的重点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，m＋n的值等于__________。EFGHCDBAEFGHCDBA（A）5（B）7（C）8（D）12您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。