2013年高考数学(理科)一轮复习课件第16讲：导数的意义及运算

考纲要求考纲研读1.了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数．4．能利用给出的8个基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数[仅限于形如f(ax＋b)的复合函数]的导数.1.函数y＝f(x)在点x0处的导数记为f′(x0)，它表示y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率，即k＝f′(x0)．导数源于物理，位移、速度的导数都有明显的物理意义．2．对于多项式函数的导数，可先利用导数的运算法则将其转化成若干个与8个基本初等函数有关的和差积商形式，再进行求导.1．函数导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝__________________________.limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx2．导数的几何意义和物理意义y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)(1)导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为__________________________．(2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是s＝s(t)，那么该物体在时刻t0的瞬时速度v＝________．如果物体运动的速度随时间变化的规律是v＝v(t)，则该物体在时刻t0的瞬时加速度为a＝_______．v′(t0)s′(t0)3．几种常见函数的导数cosx－sinxexaxlna4．运算法则u′±v′u′v＋uv′(u±v)′＝_________；(uv)′＝__________；0nxn－1c′＝__(c为常数)；(xn)′＝_____(n∈R)；(sinx)′＝____；(cosx)′＝______；(lnx)′＝___；(logax)′＝______；(ex)′＝____；(ax)′＝_____.u′v－uv′v21x1xlnauv′＝___________(v≠0)．5．复合函数的求导法则f′x[φ(x)]＝_____________或_________________.f′(u)φ′(x)y′x＝y′u·u′x)C1．已知函数f(x)＝4π2x2，则f′(x)＝(A．4πxB．8πxC．8π2xD．16πxAA．1B．2C．3D．42．已知曲线y＝x24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()3.若f(x)在x0处可导，则f′(x0)等于()A.limΔx→0fx0－fx0－ΔxΔxB.limΔx→0fx0＋Δx－fx0－ΔxΔxC.limΔx→0fx0＋Δx－fx0－2ΔxΔxD.limΔx→0fx0＋2Δx－fx0－ΔxΔxA)D4．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是(A．y＝7x＋4B．y＝7x＋2C．y＝x－4D．y＝x－2C)t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒5．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，考点1导数的概念例1：设f(x)在x0处可导，下列式子中与f′(x0)相等的是()(1)limΔx→0fx0－fx0－2Δx2Δx；(2)limΔx→0fx0＋Δx－fx0－ΔxΔx；(3)limΔx→0fx0＋2Δx－fx0＋ΔxΔx；(4)limΔx→0fx0＋Δx－fx0－2ΔxΔx.A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(3)D．(1)(2)(3)(4)解析：(1)limΔx→0fx0－fx0－2Δx2Δx＝lim2Δx→0fx0－2Δx＋2Δx－fx0－2Δx2Δx＝f′(x0)；(2)limΔx→0fx0＋Δx－fx0－ΔxΔx＝2lim2Δx→0fx0－Δx＋2Δx－fx0－Δx2Δx＝2f′(x0)；(3)limΔx→0fx0＋2Δx－fx0＋ΔxΔx＝limΔx→0fx0＋Δx＋Δx－fx0＋ΔxΔx＝f′(x0)；答案：B(4)limΔx→0fx0＋Δx－fx0－2ΔxΔx＝3lim3Δx→0fx0－2Δx＋3Δx－fx0－2Δx3Δx＝3f′(x0)．所以(1)(3)正确，故选B.本题需直接变换出导数的定义式limΔk→0fx0＋k－fx0k＝f′(x0)．其中k(一般用Δx表示)可正可负，定义式的关键是一定要保证分子与分母k的一致性．【互动探究】BA．f′(x0)C．f(x0)B．－f′(x0)D．－f(x0)1．设函数f(x)在x0处可导，则limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx等于()考点2导数的计算例2：求下列函数的导数：(1)y＝(x－1)(2x2－x＋4)；(2)y＝exlnx；(3)y＝1＋sinx.1－cosx解析：(1)y′＝(x－1)′·(2x2－x＋4)＋(x－1)(2x2－x＋4)′＝1·(2x2－x＋4)＋(x－1)[(2x2)′－x′＋4′]＝2x2－x＋4＋(x－1)(4x－1)＝6x2－6x＋5；求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和差积商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导法则的结构形式要适当恒等变形．如第(1)题利用积的求导法则，也可以转化成y＝(x－1)(2x2－x＋4)＝2x3－3x2＋5x－4后再求导；第(2)题利用积的求导法则；第(3)题利用商的求导法则．(2)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋exx；(3)y′＝1＋sinx′1－cosx－1＋sinx1－cosx′1－cosx2＝cosx1－cosx－1＋sinxsinx1－cosx2＝cosx－sinx－11－cosx2.【互动探究】2．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()BA．e2B．eln2C.2D．ln2考点3曲线的几何意义例3：(2011年全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为____.解析：∵y′＝－2e－2x，∴曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线的斜率k＝－2，故切线方程是y＝－2x＋2，在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)，(1,0)，23，23，∴三角形的面积是S＝12×1×23＝13.13【互动探究】A3．(2011年江西)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.1e易错、易混、易漏7．过点求切线方程应注意该点是否为切点(1)求曲线在x＝2处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．例题：已知曲线y＝13x3＋43.正解：(1)∵y′＝x2，当x＝2时，y′＝4，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)．即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43.即x30－3x20＋4＝0.∴x30＋x20－4x20＋4＝0.∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.【失误与防范】1.求曲线y＝fx在点Px0，fx0处该点为切点的切线方程，其方法如下：①求出函数y＝fx在x＝x0处的导数f′x0，即函数y＝fx在点Px0，fx0处的切线的斜率；②切点为Px0，fx0，切线方程为y－fx0＝f′x0x－x0.2.求曲线y＝fx过点Px0，fx0该点不一定为切点的切线方程，其方法如下：①设切点AxA，xB，求切线的斜率k＝f′xA；②利用斜率公式k＝00AAyyxx＝f′xA建立关于xA的方程，求出xA，进而求出切线方程.1．导数的几何意义是切线的斜率，物理意义是速度与加速度，代数意义就是瞬时增长率、瞬时变化率等．2．求导的具体步骤．(1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.3．过点求切线方程应注意该点是否为切点，特别提醒：求“在某点处的切线方程”时，该点为切点；求“过某点的切线方程”时，该点有可能是切点，也有可能不是切点(如例4)．1．求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如f(x)＝x2＋sinα自变量为x，而f(α)＝x2＋sinα自变量为α.2．通过例4的学习，要彻底改变“切线与曲线有且只有一个公共点”、“直线与曲线只有一个公共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线y＝1与y＝sinx相切，却有无数个公共点”，而“直线x＝1与y＝x2只有一个公共点，显然直线x＝1不是切线”．