2013年高考数学(理科)一轮复习课件第28讲：三角函数的图象与性质

考纲要求考纲研读1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性.1.利用三角函数线画函数图象时，自变量的取值要用弧度制度量．2．对于正弦、余弦函数，过最高点或最低点作x轴的垂线即为对称轴；图象与x轴的交点为对称中心．3．函数的单调性是相对于某一区间而言的，研究其单调性必须在定义域内进行.下面是正弦函数、余弦函数性质一览表y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域x∈Rx∈R{x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z}．y＝sinxy＝cosxy＝tanx值域[－1,1][－1,1]R周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性单调递增区间ππ2π,2π;22kk单调递减区间π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)单调递增区间[(2k－1)π，2kπ]；单调递减区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)单调递增区间πππ,π22kk(k∈Z).A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数1．函数y＝cosπ2－2x是()D2．函数y＝sinx2的图象的一条对称轴的方程是()A．x＝0B．x＝π2C．x＝πD．x＝2π3．函数y＝cosx的一个单调递增区间为()A.－π2，π2B．(0，π)C.π2，3π2D．(π，2π)CD4．函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π5．将函数y＝cosx－π3的图象向右平移π6个单位，所得图象对应函数是()A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝－cosxD．y＝－sinxBB考点1三角函数的性质例1：已知函数f(x)＝sinx＋sinx＋π2，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最大值和最小值；(3)若f(α)＝34，求sin2α的值．解析：f(x)＝sinx＋sinx＋π2＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4.(1)f(x)的最小正周期为T＝2π1＝2π.(2)f(x)的最大值为2，此时，x＝2kπ＋π4(k∈Z)；最小值为－2，此时，x＝2kπ－3π4(k∈Z)．(3)因为f(α)＝34，即sinα＋cosα＝34⇒2sinαcosα＝－716.即sin2α＝－716.研究函数的性质问题，先要把函数解析式化简为正弦型或余弦型函数，通过正弦型或余弦型函数来解决问题．将函数表达式化简为f(x)＝Msin(ωx＋φ)＋k的形式，应用f(x)＝Msin(ωx＋φ)＋k的图象和性质解决问题．【互动探究】1．已知函数f(x)＝sinx－π2(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间0，π2上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数D解析：由函数的f(x)＝sinx－π2＝－cosx(x∈R)可以得到函数f(x)是偶函数，所以选择D.考点2三角函数的图象图D11例2：关于x的方程3sin2x＋cos2x＝k在0，π2内有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．解析：函数y＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，设2x＋π6＝t，∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6.则转化为函数y＝2sint(π6≤t≤7π6)与函数y＝k的图象有两个公共点问题，观察它们的图象，如图D11得，k的取值范围为1≤k＜2.方程有解问题，一般可转化为根的分布问题、函数图象问题、函数的值域问题．转化为函数y＝3sin2x＋cos2x和函数y＝k的图象有两个公共点问题．【互动探究】2．(2011年全国)设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．9解析：由题意将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了π3是此函数周期的整数倍，得2πω×k＝π3(k∈Z)，解得ω＝6k，又ω0，令k＝1，得ωmin＝6.C考点3三角函数的应用(1)求电流I的最小正周期T和频率f；(2)设t≥0，求电流I的最大值和最小值，并指出I第一次达到最大值和最小值时的t值．例3：设有同频率的两个正弦电流I1＝3sin100πt＋π3，I2＝sin100πt－π6，把它们合成后，得到电流I＝I1＋I2.解析：(1)∵I＝I1＋I2＝3sin100πt＋π3＋sin100πt－π6＝3cosπ6－100πt＋sin100πt－π6＝3cos100πt－π6＋sin100πt－π6＝2sin100πt＋π6，∴电流I的最小正周期T＝2π100π＝150，频率f＝1T＝50.(2)由(1)当100πt＋π6＝π2＋2kπ，即t＝k50＋1300，k∈N时，Imax＝2；当100πt＋π6＝3π2＋2kπ，即t＝k50＋175，k∈N时，Imin＝－2.而t≥0，∴I第一次达到最大值时，t＝1300；I第一次达到最小值时，t＝175.【互动探究】两个不相等实根x1，x2时，求实数a的取值范围．3．f(x)＝2sinxcosx＋cos2x－12，0≤x≤π，当方程f(x)＝a有解：f(x)＝212sin2x＋1＋cos2x2－12＝22(sin2x＋cos2x)＝sin2x＋π4，在同一坐标系内作出y＝sin2x＋π4(0≤x≤π)与y＝a的图象知：当f(x)＝a有两不等实根时，a∈－1，22∪22，1.思想与方法11．三角函数中的分类讨论为常数)．(1)若x∈R，求f(x)的最小正周期；(2)若x∈R时，f(x)的最大值等于4，求a的值．例题：已知函数f(x)＝2acos2x＋3asin2x＋a2(a∈R，a≠0且解析：(1)f(x)＝a(1＋cos2x)＋3asin2x＋a2＝2asin2x＋π6＋a2＋a，∴最小正周期为π.(2)依题意得a0，2a＋a2＋a＝4，或a0，－2a＋a2＋a＝4.解得a＝1或a＝1－172.∴a的取值为a＝1或a＝1－172.对于形如f(x)＝A＋Bsinx，若B0时，f(x)的最大值是A＋B；若B0时，f(x)的最大值是A－B.1．作函数y＝sinx，x∈[0,2π]的简图时，所用的五个关键点是(0,0)，π2，1(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．2．作函数y＝cosx，x∈[0,2π]的简图时，所用的五个关键点是(0,1)，π2，0，(π，－1)3π2，0，(2π，1)．3．由cosx＝sinx＋π2，x∈R知要得到y＝cosx，x∈R的图象只需将y＝sinx，x∈R的图象向左平移π2个单位．4．对于具有周期的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期作出整个函数的图象．1．作函数的图象时，首先要确定函数的定义域．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，其周期为T＝2πω；函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，其周期为T＝πω.3．正切函数y＝tanx，x∈kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)是单调递增函数，但不能说函数在其定义域内是单调递增函数．4．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，若ω为负数，应先用诱导公式把x的系数化为正数，再求解．