1993考研数四真题及解析

Borntowin1993年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)lim1212(1)nnn.(2)已知232,arcsin,32xyffxxx则0xdydx.(3)21dxxx.(4)设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵*A的秩为.(5)设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知索取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设21sin,0,0,0,xxfxxx则fx在点0x处()(A)极限不存在(B)极限存在但不连续(C)连续但不可导(D)可导(2)设fx为连续函数,且ln1,xxFxftdt则Fx等于()(A)2111lnfxfxxx(B)11lnfxfxx(C)2111lnfxfxxx(D)1lnfxfx(3)若123,,,12,都是四维列向量,且四阶行列式1231,,,m,1223,,,n,则四阶行列式32112,,,等于()(A)mn(B)mn(C)nm(D)mn(4)设2是非奇异矩阵A的一个特征值,则矩阵1213A有一特征值等于()(A)43(B)34(C)12(D)14Borntowin(5)设随机变量X与Y均服从正态分布,22,4,,5;XNYN记124,5,pPXpPX则()(A)对任何实数,都有12pp(B)对任何实数,都有12pp(C)只对的个别值,才有12pp(D)对任何实数,都有12pp三、(本题满分5分)设,,zfxy是由方程0zyxzyxxe所确定的二元函数,求dz.四、(本题满分7分)已知22lim4xxaxxaxedxxa,求常数a之值.五、(本题满分7分)已知某厂生产x件产品的成本为212500020040Cxx(元).问(1)若使平均成本最小,应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品？六、(本题满分6分)设p、q是大于1的常数,且111.pq证明：对于任意0x,有11pxx.pq七、(本题满分13分)运用导数的知识作函数16xyxe的图形.八、(本题满分8分)已知三阶矩阵A的逆矩阵为1111121113A,试求伴随矩阵*A的逆矩阵.九、(本题满分8分)设A是mn矩阵,B是nm矩阵,E是n阶单位矩阵(mn).已知BAE,试判断BorntowinA的列向量组是否线性相关？为什么？十、(本题满分8分)设随机变量X和Y独立,都在区间13,上服从均匀分布;引进事件,AXa.BYa(1)已知79PAB,求常数a.(2)求1X的数学期望.十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数Nt服从参数为t的泊松分布.(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.Borntowin1993年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】22【解析】lim12121nnn1212112121lim12121nnnnnnnlim1212(1)nnnnlim111122nnnnnn12lim.211111122nnn(2)【答案】32【解析】令3232xgx,x则有01g,21232gxx,则03g,由复合函数求导法则0300313arcsin1.2xdyfggfdx(3)【答案】2arctan1xC【解析】方法一：令1xt,则21,2xtdxtdt,所以222211212arctan2arctan1.dxtdtdttttxxtCxCBorntowin方法二：211222arctan122111dxdxdxxCxxxx.(4)【答案】0【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.由于2rA,说明A中3阶子式全为0,于是A的代数余子式0ijA,故0*A.所以秩0*rA.若熟悉伴随矩阵*A秩的关系式*,,1,1,0,1,nrAnrArAnrAn易知0*rA.注：按定义112111222212nn*nnnnAAAAAAA,AAA伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式A的代数余子式,是1n阶子式.(5)【答案】02.【解析】设事件iA“从10件产品中任取两件,有i件不合格品”,012i,,.记12BAA,依题意所求概率为2PA|B,即在B发生的条件下2A发生的概率,亦即在索取两件产品中有一件是不合格品,另一件也是不合格品的概率.1124642122101028,,1515CCCPAPACC又12,AA互不相容,故有加法公式12121015PBPAAPAPA.易见事件2BA,因此22PABPA,应用条件概率公式222215021015PABPAPA|B.PBPB.注：“已知所取两件产品中有一件是不合格品”应理解为“所取两件产品中至少有一件是不合格品”.不少考生将其错误理解为“所取两件产品中恰好只有一件是不合格品”,因而得错误答案215.Borntowin二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】利用函数连续定义判定.由于当0x时,21sinx为有界变量,x为无穷小量,则2001limlimsin0xxfxxx,且00f.于是fx在0x处连续.故(A)、(B)不正确.又因为22200011sin0sin11limlimlimsin0xxxxfxxxxxxx不存在,所以fx在0x处不可导,所以选(C).【相关知识点】函数连续定义：如果函数在0x处连续,则有000lim()lim()()xxxxfxfxfx.(2)【答案】(A)【解析】22ln11111ln.fxFxfxffxxxxxx【相关知识点】积分上限函数的求导公式：xxdftdtfxxfxx.dx(3)【答案】(C)【解析】利用行列式的性质,有3211232113212,,,,,,,,,12311232,,,,,,(1和2互换,行列式变号)1223m,,,nm.(4)【答案】(B)【解析】方法1：由为A的特征值可知,存在非零向量,由,0,A有222211,.33AAAA即若是矩阵A的特征值,则213是矩阵213A的特征值,因此,213A有特征值43.从而1213A有特征值34.故应选(B).Borntowin方法2：1221133AA,由2是A的特征值,知12是1A的特征值,于是14是21A的特征值.应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.(5)【答案】(A)【解析】22,4,,5;XNYN则求出1p、2p:12441,451111,5pPXYpPYP因此,对任何实数,都有12pp,应选(A).三、(本题满分5分)【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得0zyxzyxdzdydxedxxedzdydx,整理后得111zyxzyxzyxzyxxedzxeedxxedy.由此,得11zyxzyxzyxxeedzdxdyxe.方法二：应先求处函数对,xy的偏导数,将0zyxzyxxe两边分别对,xy求偏导,110110zyxzyxxxzyxyyzexez,zxez,解之得11111zyxzyxxzyxzyxxeezxexe,1yz,故111zyxxyzyxxedzzdxzdydxdyxe.四、(本题满分7分)Borntowin【解析】2222limlim1lim1xaaxxxaxaxxxxaaaxaxaxa,令2atxa,则当x时,0t,1202lim1lim1xaatxtatexa,所以22lim222lim1xxaaxaxaxaaxaxaeexa.而22222224224xxxxaaaaxedxxdexexedx22222lim222baxabbeaexde2222222axxaaaexeedx2222222lim22limabababbaebeaeee222222aaaaeaee,由2222222aaaaeaeaee,得20aa,所以0a或1a.五、(本题满分7分)【解析】(1)由212500020040Cxxx,得平均成本25000120040Cxx,对x求导,并令0dCdx,得2250001040dC,dxx解得10001000x,x(舍去).又因为22310001000500000,xxdCdxx所以1000x时,C取极小值,亦即最小值.所以生产1000件产品可使平均成本最小.Borntowin(2)利润函数215002500020040Lxxxx,两边对x求导,并令0dLdx,得300020dLxdx.所以6000x,又221020dLdx,所以6000x时Lx取极大值,也是最大值.因此,要使利润最大,应生产6000件产品.六、(本题满分6分)【解析】令11pfxxx,pq则11pfxx.令0fx得1x.方法一：又因为1p,所以1110111ppx,xx,x,所以00101fx,x,fxfx,x,fx严格单调减严格