【优化方案】2012高考数学总复习 第8章§8.6空间向量的概念及其运算精品课件 理 北师大版

§8.6空间向量的概念及其运算考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§8.6空间向量的概念及其运算双基研习•面对高考1．空间向量的有关概念双基研习•面对高考基础梳理名称定义空间向量在空间里，具有________和_______的量叫作空间向量，其大小叫作向量的______或______．自由向量与向量的________无关的向量单位向量长度或模为____的向量(非零向量a的单位向量a0＝______)零向量长度为____的向量相等向量方向_______且模______的向量相反向量方向_______而______相等的向量大小方向长度模起点1a|a|0相同相等相反模名称定义向量a，b的夹角过空间任意一点O作向量a，b的相等向量OA→和OB→，则_________叫作向量a，b的夹角，记作_________，范围是[0，π]．①当〈a，b〉＝π2时，记作_______；②当〈a，b〉＝0或π时，记作_______平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线______或_______，则这些向量叫作__________或_________．∠AOB〈a，b〉a⊥b平行重合共线向量平行向量a∥b名称定义直线的方向向量若A、B是空间直线l上任意两点，则称_____为直线l的方向向量．(与_______平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量)法向量如果直线l________平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．(所有与直线l______的非零向量都是平面α的法向量)AB→直线l垂直于平行思考感悟如何由直线的方向向量求直线的斜率？提示：直线的方向向量刻画了直线的方向，在平面上，由直线的方向向量可以确定直线的斜率．若直线的方向向量a＝(m，n)，则当m＝0时，直线的斜率不存在；当m≠0时，直线的斜率k＝nm.2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是___________________.推论如图所示，点P在l上的充要条件是：OP→＝OA→＋ta.①存在实数λ，使a＝λb其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，则①可化为OP→＝____________或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.(2)共面向量定理p＝_________，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为MP→＝___________或对空间任意一点O有，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→或OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→，其中x＋y＋z＝____.OA→＋tAB→xa＋ybxMA→＋yMB→1(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个_________的向量，a是空间任一向量，那么存在惟一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个________．3．空间向量的数量积及运算律(1)两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，即_______________叫作向量a，b的数量积，记作______，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．不共面基底|a||b|cos〈a，b〉a·b(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝________；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝____________.4．空间向量的标准正交分解与坐标表示(1)在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在惟一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝______________．把__________________叫作a的标准正交分解，把__________叫作标准正交基．____________叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)．____________叫作向量a的坐标表示．λa·ba·b＋a·cxi＋yj＋zka＝xi＋yj＋zki，j，k(x，y，z)(x，y，z)(2)若b0为b的单位向量，称_____________________为向量a在向量b上的投影．向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．5．空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则__________________________.(2)共线与垂直的坐标表示a·b0＝|a|cos〈a，b〉a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔________⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，a⊥b⇔___________⇔__________________(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a＝λba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0则|a|＝a·a＝________________，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝______________________.若A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则dAB＝|AB→|＝___________________________.a21＋a22＋a23a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23a1－b12＋a2－b22＋a3－b32课前热身1．下列命题中是真命题的是()A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反C．若向量AB→，CD→满足|AB→||CD→|，且AB→与CD→同向，则AB→CD→D．若两个非零向量AB→与CD→满足AB→＋CD→＝0，则AB→∥CD→答案：D2．(2011年九江质检)在以下命题中，不正确的命题个数为()(1)已知A、B、C、D是空间任意四点，则AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；(3)|(a·b)|·c＝|a|·|b|·|c|；(4)对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x，y，z∈R)，则P、A、B、C四点共面．A．1B．2C．3D．4答案：B3．已知AB→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2,4D．4，407，－15答案：B4．(教材习题改编)已知a＝(－1，－3,2)，b＝(1,2,0)，若存在c使a∥c且b·c＝5，则c＝________.答案：(57，157，－107)5．如图所示，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，若分别以CD、CB、CE所在的直线为x、y、z轴建立坐标系，则M点坐标为________．答案：(22，22，1)考点探究•挑战高考考点突破空间向量的线性运算用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．例1(2011年合肥调研)对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面．【思路点拨】要证线段共面，只须证明相应向量共面．【证明】如图所示，利用多边形加法法则可得，EF→＝EA→＋AD→＋DF→，EF→＝EB→＋BC→＋CF→.①又E、F分别是AB、CD的中点，故有EA→＝－EB→，DF→＝－CF→.②将②代入①后，①中两式相加得2EF→＝AD→＋BC→，∴EF→＝12AD→＋12BC→，即EF→与BC→、AD→共面．∴EF与AD、BC平行于同一平面．【名师点评】注意向量在加减法中的方向．空间向量的坐标运算要熟练掌握坐标运算条件下两个向量平行与垂直的充要条件，即若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有：a∥b(b与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1＝a2b2＝a3b3；a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.此外，坐标运算条件下，两个向量数量积的计算公式以及变形，也具有非常重要的作用，应熟练掌握．例2如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．【思路点拨】根据题意，建立合理的坐标系，利用向量的坐标运算解决所求问题．【解】如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,5)，E(0,0,1)，F(2,2,4)．连结AE.∴AC→＝(－2,2,0)，AF→＝(0,2,4)，BE→＝(－2，－2,1)，AE→＝(－2,0,1)．(1)∵BE→·AC→＝0，BE→·AF→＝0，∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A，∴BE⊥平面ACF.(2)由(1)知，BE→为平面ACF的一个法向量，∴向量AE→在BE→上的射影长即为E点到平面ACF的距离，设为D.于是d＝|AE→||cos〈AE→，BE→〉|＝AE→·BE→|BE→|＝53，故点E到平面ACF的距离为53.【名师点评】在计算和证明立体几何问题时，若能在原图中建立适当的坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形中有关问题可用向量表示，利用空间向量的坐标运算来求解，这样可避免较为复杂的空间想象．变式训练已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以AB→，AC→为边的平行四边形面积；(2)若|a|＝3，且a分别与AB→，AC→垂直，求向量a的坐标．解：(1)由题意可得：AB→＝(－2，－1,3)，AC→＝(1，－3,2)，∴cos〈AB→，AC→〉＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝－2＋3＋614×14＝714＝12，∴sin〈AB→，AC→〉＝32，∴以AB→，AC→为边的平行四边形面积S＝2×12|AB→|·|AC→|·sin〈AB→，AC→〉＝14×32＝73.(2)设a＝(x，y，z)，由题得：x2＋y2＋z2＝3，－2x－y＋3z＝0，x－3y＋2z＝0.解得：x＝1，y＝1，z＝1，或x＝－1，y＝－1，z＝－1.∴a＝(1,1,1)，或a＝(－1，－1，－1)．共面共线问题点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明PA→＝xPB→＋yPC→，或对空间任一点O，有OA→＝OP→＋xPB→＋yPC→或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件．例3(2011年南昌调研)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．【思路点拨】利用共线定理、共面定理证明．【证明】(1)连结BG，EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面．(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD.又EH平面EFGH，BDØ平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)连