【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式课件 理 新人教A版

1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：．(2)商数关系：.sin2α＋cos2α＝1(α∈R)tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，k∈Z第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式2．六组诱导公式－tanα－tanαtanαtanα正切－sinαsinα－cosαcosα－cosαcosα余弦cosαcosαsinα－sinα－sinαsinα正弦π－α－απ＋α2kπ＋α(k∈Z)角函数π2－απ2＋α对于角“kπ2±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．1．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[试一试]1．(2013·全国大纲卷)已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝()A．－1213B．－513C.513D.1213解析：因为α是第二象限角，所以cosα＝－1－5132＝－1213.答案：A2．(2013·洛阳统考)cos－20π3＝()A.12B.32C．－12D．－32答案：C1．诱导公式的应用原则2．三角函数求值与化简的常用方法(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tanπ4＝….负化正，大化小，化到锐角为终了．(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinαcosα化成正、余弦．[练一练]1．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C.π6D.π3解析：∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝3.∵|θ|π2，∴θ＝π3.答案：D2．(2013·芜湖调研)若sinθ·cosθ＝12，则tanθ＋cosθsinθ的值是()A．－2B．2C．±2D.12解析：tanθ＋cosθsinθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1cosθsinθ＝2.答案：B1.已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}解析：当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.答案：C2．sin600°＋tan240°的值等于________．解析：sin600°＋tan240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin120°＋tan60°＝－32＋3＝32.答案：323．已知tanπ6－α＝33，则tan56π＋α＝________.解析：tan56π＋α＝tanπ－π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－33.答案：－334.tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α＝________.解析：原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2cos3π＋α[－sin3π＋α]＝tanαcosαsinπ2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.答案：－1提醒：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．[类题通法]诱导公式应用的步骤由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形内角，∴sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43.[典例]已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.[解](1)联立方程sinα＋cosα＝15，①sin2α＋cos2α＝1，②(1)求tanα的值；tanα与sinα,cosα之间有什么关系？结合平方关系求出sinα与cosα,进而求tanα.[典例]已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．[解]1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝－432＋11－－432＝－257.能否用sinα，cosα表示1？保持本例条件不变，求：(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα；解：由例题可知：tanα＝－43.(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα＝tanα－45tanα＋2＝－43－45×－43＋2＝87.(2)sin2α＋2sinαcosα的值.(2)sin2α＋2sinαcosα＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanα1＋tan2α＝169－831＋169＝－825.1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．[类题通法]2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα.解：∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β.②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β.③由①＋③得sin2α＋9cos2α＝4.又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝38，∴cosα＝±64.[针对训练][典例]在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．[解]由已知得sinA＝2sinB，3cosA＝2cosB两式平方相加得2cos2A＝1，即cosA＝22或cosA＝－22.化简求出cosA的值依据cosA的值讨论求解3(1)当cosA＝22时，cosB＝32，又角A、B是三角形的内角，∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝7π12.(2)当cosA＝－22时，cosB＝－32，又角A、B是三角形的内角，∴A＝3π4，B＝5π6，不合题意．综上知，A＝π4，B＝π6，C＝7π12.[类题通法]1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2π－2C，A2＋B2＋C2＝π2等，于是可得sin(A＋B)＝sinC，cosA＋B2＝sinC2等；2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．[针对训练]在△ABC中，sinA＋cosA＝2，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．解：∵sinA＋cosA＝2，∴1＋2sinAcosA＝2，∴sin2A＝1.∵A为△ABC的内角，∴2A＝π2，∴A＝π4.∵3cosA＝－2cos(π－B)，∴3cosπ4＝2cosB，∴cosB＝32.∵0＜B＜π，∴B＝π6.∵A＋B＋C＝π，∴C＝7π12.∴A＝π4，B＝π6，C＝7π12.[课堂练通考点]1．已知sin(θ＋π)0，cos(θ－π)0，则下列不等关系中必定成立的是()A．sinθ0，cosθ0B．sinθ0，cosθ0C．sinθ0，cosθ0D．sinθ0，cosθ0解析：sin(θ＋π)0，∴－sinθ0，sinθ0.∵cos(θ－π)0，∴－cosθ0.∴cosθ0.答案：B2．(2014·济南质检)α∈－π2，π2，sinα＝－35，则cos(－α)的值为()A．－45B.45C.35D．－35解析：因为α∈－π2，π2，sinα＝－35，所以cosα＝45，即cos(－α)＝45，故选.B3．(2014·青岛高三教学评估)若△ABC的内角A满足sin2A＝23，则sinA＋cosA＝()A.153B．－153C.53D．－53解析：∵0Aπ，∴02A2π.又∵sin2A＝23，即2sinAcosA＝23，∴0Aπ2.∴(sinA＋cosA)2＝53，∴sinA＋cosA＝153.答案：A4．cos－17π4－sin－17π4的值是________．解析：原式＝cos17π4＋sin17π4＝cosπ4＋sinπ4＝2.答案：25．已知πα2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tanα－7π2的值．解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－35，∴cosα＝35.∴sin(3π＋α)·tanα－7π2＝sin(π＋α)·－tan7π2－α＝sinα·tanπ2－α＝sinα·sinπ2－αcosπ2－α＝sinα·cosαsinα＝cosα＝35.