九年级二次函数与数形结合重点题---附答案

第十四讲数形结合问题【典型例题1】如图，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的表达式；（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CABS；（3）是否存在一点P，使S△PAB=89S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的表达式为4)1(21xay。把A（3,0）代入表达式，求得1a。所以324)1(221xxxy。设直线AB的表达式为bkxy2。由3221xxy求得B点的坐标为)3,0(。把)0,3(A，)3,0(B代入bkxy2中，解得3,1bk。所以32xy。(2)因为C点坐标为(１,4)，所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2。所以CD＝4-2＝2。32321CABS(平方单位)。(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则xxxxxyyh3)3()32(2221。由S△PAB=89S△CAB，得389)3(3212xx。化简得091242xx。解得23x。将23x代入3221xxy中，解得P点坐标为)415,23(。【知识点】抛物线、直线表达式的求法，在直角坐标系中三角形面积的求法，点的坐标的求法。【基本习题限时训练】1.已知点A的坐标为（0，3），点B与点A关于原点对称，点P的坐标为（4，3），那么△PAB的面积等于（）（A）6；（B）9；（C）12；（D）24。答案：C。2.已知抛物线cbxxy23的顶点坐标为（-1，2），那么这条抛物线的表达式为（）xCOyABD11（A）5632xxy；（B）5632xxy；（C）1632xxy；（D）1632xxy。答案：A。3.已知直线bxy43经过点A（3，3），并与x轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且∠ABC=∠ACB，那么点C的横坐标为（）（A）3；（B）4；（C）5；（D）6。答案：B。【典型例题2】如图，在平面直角坐标系中，点C（－3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足2310OBOA．（1）求点A、点B的坐标；（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连结AP，设ABP△的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与AOB△相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．230OB，解：（1）∵2310OBOA，∴10OA.∴3OB，1OA．∵点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，∴A（1，0），B（0，3）．（2）由（1）得AC=4，221(3)2AB，223(3)23BC．∴2222222316ABBCAC（）．∴△ABC为直角三角形，90ABC．∴S=tt322)3221（（0≤t＜23）．（3）存在，满足条件的的有两个．1(30)P，，22133P，．【知识点】非负数的概念，函数解析式的求法，相似三角形的判定。【基本习题限时训练】1.已知013bba，那么ba的值等于（）（A）4；（B）-4；（C）41；（D）41。答案：D。2.在直角坐标系中，直线y=-2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段AB上，且△AOC∽△ABO，那么点C到原点的距离等于（）yxAOCB（A）1；（B）551；（C）552；（D）554。答案：D。3.在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，点M和点N同时从点B出发，分别沿边BC和BA运动，点M的运动速度为每秒4厘米，点N的运动速度为每秒3厘米，设运动的时间为t，那么当△MNC成为等腰三角形时，t的值等于（）（A）916；（B）716；（C）34；（D）712。答案：A。【典型例题3】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，如果OA、OB的长是关于x的一元二次方程27120xx的两个根，且OAOB．（1）求sinABC的值．（2）如果E为x轴上的点，且163AOES△，求经过D、E两点的直线的表达式，并判断AOE△与DAO△是否相似？解：（1）解27120xx得1243xx，。OAOB，43OAOB，。225ABOAOB。在RtAOB△中，由勾股定理，得4sin5OAABCAB。（2）∵点E在x轴上，163AOES△，11623AOOE。83OE。880033EE，或，。由已知可知D（6，4）。设DEykxb，当803E，时有46803kbkb解得65165kb61655DEyx。同理803E，时，6161313DEyx。在AOE△中，89043AOEOAOE°，，。在AOD△中，∠OAD=90°，OA=4，AD=6。∵ADOAOAOE，AOEDAO△∽△。xyADBOC【知识点】锐角的三角比，解一元二次方程，直线表达式的求法，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的定义和判定。【基本习题限时训练】1.方程0652xx的解是（）（A）2或-3；（B）-2或3；（C）1或-6；（D）-1或6。答案：D。2.在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=5，那么∠A的正切值等于（）（A）125；（B）512；（C）135；（D）1312。答案：B。3.如果菱形的一条对角线与边长都等于6厘米，那么这个菱形的面积等于（）（A）39；（B）312；（C）318；（D）324。答案：C。【典型例题4】如图，抛物线F：cbxaxy2的顶点为P，抛物线F与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：cxbxay2，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．（1）当a=1，b=2，c=3时，求点C的坐标；（2）若a、b、c满足了acb22．①求b∶b′的值；②探究四边形OABC的形状，并说明理由．解：（1）由条件，得2)1(2xy，∴点P的坐标为（1，2）。∴点D的坐标为（1，0）。抛物线F′的表达式为32xbxy，∴4b。∴抛物线F′的表达式为342xxy。∴C的坐标为（3，0）。（2）①由题意，得点P的横坐标为ab2。∵PD⊥x轴于D，∴点D的坐标为（0,2ab）．根据题意，得a=a′，c=c′，∴抛物线F′的表达式为cxbaxy'2．又∵抛物线F′经过点D（0,2ab），∴cabbaba)2('4022．∴acbbb4'202．又∵acb22，∴'2302bbb．∴b:b′=32．BCDPxOyA②由①得，抛物线F′为cbxaxy232．令y=0，则0232cbxax．∴abxabx21,2．∵点D的横坐标为,2ab∴点C的坐标为（0,ab）．∵acb22，∴242424442caacaacacabac，∴点P的坐标为（2,2cab）．设直线OP的解析式为kxy．∴kabc22，∴22222bbbbacback，∴xby2．∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴xbcbxax22．∴abxabx21,2．∵点P的横坐标为ab2，∴点B的横坐标为ab．把abx代入xby2，得caacababby222)(22．∴点B的坐标为),(cab．∴BC∥OA，BC=OA。∴四边形OABC是平行四边形．又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．【知识点】平移的概念，抛物线的顶点坐标，抛物线的与x轴和y轴的交点坐标，平行四边形和矩形的判定。【基本习题限时训练】1.如果把抛物线2xy进行平移，得到图像的表达式为422xxy，那么下列移动方法正确的是（）（A）向右平移1个单位，向上平移3个单位；（B）向右平移3个单位，向上平移1个单位；（C）向左平移1个单位，向上平移3个单位；（D）向左平移3个单位，向上平移1个单位。答案：A。2.如果二次函数342xxy的图像与x轴交于点A和点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，顶点为D，那么∠CBD的度数为（）（A）30度；（B）45度；（C）60度；（D）90度。答案：D。3.已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，4），点D的坐标为（6，0），那么四边形OABC的形状是（）（A）矩形；（B）菱形；（C）平行四边形；（D）梯形。答案：C。【典型例题5】已知抛物线22yxxa（0a）与y轴相交于点A，顶点为M.直线12yxa分别与x轴，y轴相交于BC，两点，并且与直线AM相交于点N.（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则MN，，，；（2）如图，将NAC△沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线22yxxa（0a）上是否存在一点P，使得以PACN，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.解：（1）411133MaNaa，，，.N4133aa，，（2）由题意得点N与点N′关于y轴对称，将N′的坐标代入22yxxa得21168393aaaa，10a（不合题意，舍去），294a.334N，，点N到y轴的距离为3.904A，，N334，，直线AN的解析式为94yx，它与x轴的交点为904D，，点D到y轴的距离为94.1919918932222416ACNACDADCNSSS△△四边形.（3）当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，把N向上平移2a个单位得到P，坐标为4733aa，，代入抛物线的解析式，得27168393aaaa。10a（不舍题意，舍去），238a。12P7，8.当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，OAOCOPON，．第（2）题xyBCODAMNN′P与N关于原点对称，4133Paa，，将P点坐标代入抛物线解析式得21168393aaaa，10a（不合题意，舍去），2158a，5528P，．存在这样的点11728P，或25528P，，能使得以PACN，，，为顶点的四边形是平行四边形．【知识点】抛物线的顶点坐标，图形的运动问题，四边形的面积求法，平行四边形的判定。【基本习题限时训练】1.如果把直线y=2x+6沿y轴翻折，那么所得图形与x轴的交点坐标为（）（A）（3，0）；（B）（-3，0）；（C）3；（D）-3。答案：A。2.已知直线y=x-4与直线y=-2x+6，那么这两条直线与两条坐标轴所围成的四边形的面积等于（）（A）319；（B）323；（C）353；（D）359。答案：B。3.已知点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，3），如果以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标不可能是（）（A）（3，3）；（B）（-3，3）；（C）（2，2）；（D）（-5，-3）。答案：C。