40微积分在物理竞赛中的应用

求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数恰好满足tg，为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度0V而滑动，如图一，求：物体在轨道上任意一点的速度V与的关系，设为速度与水平线的夹角。解：物体在某一位置所受的力有：重力G，弹力N以及摩擦力f。摩擦力f总是与运动速度V的方向相反，其数值αmgαmgαtgαmgμNμfsincoscos====重力在斜面上的分力为1G，如图二，将1G分解为两个分力：1G′′是1G沿轨迹切线方向的分力，φαmgφGGsinsinsin11==′′；1G′是沿轨迹法向的分力，φαmgφGGcossincos11==′，如图三。根据牛顿运动定律，得运动方程为τmafG=′′1（1）nmaG=′1（2）由（1），)1(sinsin)sinsinsin(1φαgαmgφαmgmaτ==而,dtdVaτ=得到,)1(sinsindtφαgdV=（3）式中是t的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在与t中消去一个变量，才能积分，注意到φdφddsVVdSdt1==（4）而dds表示曲线在该点的曲率半径，根据（2）式，ρVmφαmg2cossin=（5）由式（3）（4）（5），可得到,)sec(φdφφtgVdV=φdφφtgVdVVVφ∫∫00)sec(=，积分，得到)sin1ln()ln(seccoslnln0φφtgφφVV+=+=，.sin10φVV+=运用积分法求解链条的速度及其时间一条匀质的金属链条，质量为m，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L，另一边长度为,2L而且120LL，如图一。试求：链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。解：设金属链条的线密度为.21LLmλ+=当一边长度为xL+1，另一边长度为xL2时受力如图二所示，则根据牛顿运动定律，得出运动方程,)()(11aλxLTgλxL+=+.)()(22aλxLgλxLT=则.2)(2121gLLxLLa++=因为dxVdVdtdxdxdVdtdVa===，所以,2)(2121gLLxLLdxVdV++=∫∫0212102)(xVgdxLLxLLVdV++=.)(222121xxLLLLgV++=令,2Lx可以求得链条滑离钉子时的速度大小21212LLgLLV+=再由,dtdxV=得到22121)(2xxLLLLgdtdx++=,2∫∫0210221dtLLgxxLLdxtx+=+）（积分，得到,2])(2)(2ln[21022121tLLgxxLLLLxx+=+++,2)(2)(2ln212122121tLLgLLxxLLLLx+=+++令x=2L,可以求得链条滑离钉子所需的时间为.ln22ln221212121212121LLLLgLLLLLLLLgLLt++=+++=求解棒下落过程中的最大速度在密度为1的液体上方有一悬挂的长为L,密度为2的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若21，求：棒下落过程中的最大速度。解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力G和浮力F的作用，如图一所示。根据牛顿运动定律，有.dtdVmFmg=（1）随着棒往下沉，浮力逐渐增大。当直棒所受合力为零，即mgF=时，棒的加速度为零，速度最大。设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为1L，设棒的截面积为S，则有,211SLgρgSLρ=解得，.121LρρL=（2）取x坐标如图所示，则（1）式可以写为.212dtdVSLρSxgρSLgρ=做变量代换，令,dxdVVdtdxdxdVdtdV==代入上式，得到;)1(21VdVgdxLx两边积分，得到∫∫110021)1(VLVdVgdxρρLx=得到，212121121=)21(VLLgρρgL将（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为.121LgρρV=运用微分法求解阻尼平抛质量为m的物体，以初速为0V，方向与地面成0θ角抛出。如果空气的阻力不能忽略，并设阻力与速度成正比，即Vkf=，k为大于零的常数。求：物体的运动轨道。解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程amfgm=+其分量式，,xxxmakVf==（1）yymakVmg=（2）将dtdVaxx=代入式（1），得,dtdVmkVxx=改写成,dtmkVdVxx=∫∫00,mkxxVVtxxdtVdV=两边积分，得到.cos00tmktmkxxeθVeVV==可见由于空气阻力的存在，x方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。由于,dtdxVx=再积分，并以t=0时x=0,代入得到).1(cos)1(000tmktmkxekθVekmVx==（3）同理，由于,dtdVayy=式（2）转化为),(yyyVkmgmkVmkgdtdV==.dtmkVkmgdVyy=积分，并以t=0时，000sinθVVVyy==代入，得到.)sin(00kmgekmgθVVtmky+=可见，y方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分，并以t=0时y=0代入，得到.)1)(sin(00tkmgekmgθVkmytmk+=（4）由（3）（4）两式消去t,得到有阻力时的轨道方程).cos1ln()cos1ln()cos(0220022000xθmVkkgmxθmVkkgmxθkVmgθtgy+++=显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨道向左下方偏离，如图一。例如：以初速620m/s,仰角045发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km,而实际射程只有4km.求解飞机的滑行距离飞机以0V的水平速度触地滑行着陆。滑行期间受到空气的阻力为2VCx，升力为2VCy，其中V是飞机的滑行速度。设飞机与跑道间的摩擦系数为，试求：飞机从触地到停止所滑行的距离。解：取飞机触地点为坐标原点，取飞机滑行方向为x轴。飞机在水平方向上受力为：摩擦力Nμf=，空气阻力为2VCfx=′；在竖直方向上受力为：重力、支持力和升力,2VCFy=如图一所示，应用牛顿第二定律，得到dtdVmVCNμx=2.02=+mgVCNy由上两式消去N，得到.)(2VCμCmgμdtdVmyx=利用,dxdVVdtdxdxdVdtdV==得到.)(2VCμCmgμdxdVmVyx=分离变量，积分∫∫002)(VVxyxdxVCμCmgμmVdV=+，得到].)()(ln[)(2202VCμCmgμVCμCmgμCμCmxyxyxyx++=在飞机触地的瞬间，,0VV=支持力N=0,由运动方程，得到.20mgVCy=于是].)(ln[)(22022020VCVCμCVCμCμCgVCxxyxyyyy+=这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。社5,/900==xyCChkmV（升阻比），10.0=μ。代入数值计算后，得到x=221m.求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题两小球的质量均为m，小球1从离地面高度为h处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速0V同时竖直上抛。设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k(常量)。试求：两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示为,22mgkVdtydm=它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的，故,gVmkdtdV=分离变量.dtgVmkdV=对于小球1，初始条件为0=t时，,,01010hyV==故,∫∫100VtdtgVmkdV=).1(1tmkekmgV=(1)对于小球2，初始条件是t=0时，,0,20020yVV故∫∫10,0VVtdtgmkdV=得到.02kmgekmgVVtmk）（+=（2）由（1）式，得到),1(1tmkekmgdtdy=dtekmgdytmk)1(1=∫∫101)1(yhttmkdtekmgdy=积分，得到.)1(221tkmgekgmhytmk+=由式（2）得到,)(02kmgekmgVdtdytmk+=dtkmgekmgVdytmk])[(02+=dtkmgekmgVdyttmky∫∫0002])[(2+=积分，得到tkmgekmgVkmytmk)(02+=两小球相遇时，,21yy=相遇时间为*t，由（3（4）两式，得到)1(*0tmkeVkmh=，,10*mVkhetmk=故),1ln(0*mVkhkmt=把上述结果代入（3）或者（4），得到两小球相遇的地点).1ln()1(0220*mVkhkgmhkVmgy++=代入（1）（2），得到两小球相遇时的速度;)]1(1[00*1VghmVkhkmgV==.)()1)((0000*2mkhVghVkmgmVkhkmgVV=+=讨论：（1）当阻力很小时，即当0→k时，利用展开式,2)1ln(2xxx=上述结果简化为.,;2;00*20*120*0*VghVVVghVVghhyVht====这正是不考虑空气阻力时的结果。（2）当考虑如提设的空气阻力时，由上述结果可知，只在下述条件下,0khmV或者,0mkhV两小球才有可能相遇。在非惯性系中求解球环系统的运动情况一轻绳的两端分别连接小球A和小环B，球与环的质量相等，小环B可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动，如图一。现使小球在图示的平面内摆动。求：小球摆离铅垂线的最大角度θ时小环和小球的加速度。解：当小球摆动时，小环沿钢丝做加速运动。以小环B为参考系，则小球受重力和绳子拉力外，还受惯性力BmaF=惯的作用，如图二。其加速度Aa′沿圆弧的切线方向。在最大摆角为θ时的运动方程为,0cossin=+θmgθFT惯AamθFθmg′=+cossin惯小环B在水平方向的运动方程为BmaθT=sin.解方程，得到)sin1(sin2,)sin1(22sin22θθgaθθgaAB+=′+=。小球A相对地的加速度BAAaaa+′=，取如图二所示的坐标系，则有,)sin1(22sincos2gθθaθaaBAAx+=′=.)sin1(sin2sin22gθθθaaAAy+=′=