2012高考数学二轮复习课件：第4单元-不等式(新课标江苏专用)

专题十七不等式的解法及线性规划专题十八等差、等比数列的性质第四单元不等式第四单元不等式知识网络构建第四单元│知识网络构建考情分析预测第四单元│考情分析预测考向预测近几年的江苏卷中解一元二次不等式作为一个重要的代数解题工具，是考查的热点，多与集合、函数、数列相结合考查．线性规划考查不多，但作为C级知识点会出现与其他知识综合的考查．另一个C级知识点基本不等式是必考内容，主要考查内容有用基本不等式求解最值或在代数综合问题中判断多项式的大小关系等．第四单元│考情分析预测备考策略1．解不等式是解不等关系的基本工具，其中对于含有参数的不等式需要重点关注分类讨论的依据．2．线性规划作为C级知识点，不会考查太难，但其思想非二元一次不等式组的几何意义也会体现，这一点需要重视．3．理解应用基本不等式求最值时的几个关键词“正数”“定值”“等号”是基本不等式复习的关键．第四单元│考情分析预测专题十七不等式的解法及线性规划专题十七不等式的解法及线性规划主干知识整合专题十七│主干知识整合一、不等式的解法1．三个“二次”之间的关系图17－1专题十七│主干知识整合2．不等式的求解思路(1)转化法：解不等式的转化方向①高次不等式→二次不等式→一次不等式②分式不等式→整式不等式→二次不等式→一次不等式(2)数形结合法图17－2不等式f(x)0的解集从图形角度来理解即寻找函数图象在x轴上方的图象所对应的x的取值范围，如图17－2，f(x)0的解集为(x1，x2)∪(x3，x4)∪(x5，＋∞)，一元n次不等式的解法都用的是上述理论．专题十七│主干知识整合二、线性规划1．二元一次不等式所表示平面区域的判断方法(1)特殊点法；(2)系数法．2．不等式(组)所表示的平面区域(1)半平面；(2)多边形内部；(3)圆含圆面部分．3．常见几何意义有：截距(或其k倍)如z＝x＋y；斜率如z＝yx；距离如z＝x2＋y2.要点热点探究专题十七│要点热点探究►探究点一线性规划中的动态域问题如果约束条件的不等式组中出现了参数，则对应的可行域即为动态域．动态域的问题如同动态函数，常见处理方法有两种：一是运用分类讨论的思想分部分研究；二是运用从特殊到一般的思想从特殊情况研究开始．专题十七│要点热点探究例1不等式组x≥0，y≥0，x＋y－2－1≤0，x－ky＋k≥0表示的是一个对称四边形围成的区域，则k＝________.专题十七│要点热点探究±1【解析】如图，显然当k＝－1时形成的四边形为等腰梯形，满足题意；x－ky＋k＝0过定点(0,1)，当k0时，若得到对称四边形，则直线x－ky＋k＝0必与直线x＋y－2－1＝0垂直，得k＝1，验证(0,1)到直线x＋y－2－1＝0的距离d＝|0＋1－2－1|2＝1，满足题意．【点评】本题先画出一般情形下的可行域，然后再根据题目的要求对k进行取值．本题中“对称四边形”的含义不仅仅是等腰梯形，需要考虑更多的情形．专题十七│要点热点探究已知圆面C：(x－a)2＋y2≤a2－1的面积为S，平面区域D：2x＋y≤4与圆面C的公共区域的面积大于12S，则实数a的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,2)【解析】圆面C：(x－a)2＋y2≤a2－1的圆心(a,0)在平面区域D内，则a2－10，2a＋04⇔a∈(－∞，－1)∪(1,2)．专题十七│要点热点探究►探究点二用线性规划思想解题线性规划思想主要指的是用二元取值范围的几何解法，用类似该思想解题主要有：一是非线性规划问题；二是可以转化为线性规划的问题．例2已知△ABC的三边长a，b，c满足b＋2c≤3a，c＋2a≤3b，则ba的取值范围为________．专题十七│要点热点探究34，53【解析】依题意可知b＋2c≤3a，c＋2a≤3b，a＋bc，a＋cb，b＋ca，a0，b0，c0⇒ba＋2·ca≤3，ca＋2≤3·ba，1＋baca，1＋caba，ba＋ca1，a0，b0，c0，专题十七│要点热点探究设x＝ba，y＝ca，从而有x＋2y≤3，y＋2≤3x，1＋xy，1＋yx，x＋y1，x0，y0，作出可行域如图所示，可得xAbaxC，又xA＝34，xC＝53，即34ba53.专题十七│要点热点探究【点评】本题所给条件为三元不等式组“b＋2c≤3a，c＋2a≤3b”，但所求的是ba的取值范围，首先将三元问题转化为二元，即将ba，ca设为x，y，从而将其转化为线性规划问题．专题十七│要点热点探究已知函数f(x)＝|x2－2|，若f(a)≥f(b)，且0≤a≤b，则满足条件的点(a，b)所围成区域的面积为________．专题十七│要点热点探究π2【解析】由fa≥fb，0≤a≤b，⇒|a2－2|≥|b2－2|，0≤a≤b，显然b≥a2时不可能，所以b≥2≥a，2－a2≥b2－2，0≤a≤b，或2≥b≥a，2－a2≥2－b2，0≤a≤b，即b≥2≥a，a2＋b2≤4，0≤a≤b，或2≥b≥a，b＋ab－a≥0，0≤a≤b，不等式表示的平面区域如图阴影部分所示，其面积为S＝18·π·22＝π2.专题十七│要点热点探究►探究点三含参数的不等式的解法含参数不等式的解法虽然单独命题的频率很低，但在研究含有参数的函数的单调区间时，却作为解题的工具之一在使用，如f′(x)0就是解不等式．例3已知a为实数，函数f(x)＝(1＋ax)ex，函数g(x)＝11－ax.令函数F(x)＝f(x)·g(x)．当a0时，求函数F(x)的单调区间．专题十七│要点热点探究【解答】函数F(x)＝1＋ax1－axex，定义域为xx≠1a.当a0时，F′(x)＝－a2x2＋2a＋11－ax2ex＝－a2x2－2a＋1a21－ax2ex.令F′(x)＝0，得x2＝2a＋1a2.①当2a＋10，即a－12时，F′(x)0.∴当a－12时，函数F(x)的单调减区间为－∞，1a，1a，＋∞.②当－12a0时，解x2＝2a＋1a2得x1＝2a＋1a，x2＝－2a＋1a.∵1a2a＋1a，∴由F′(x)0，得x∈－∞，1a∪1a，x1∪－2a＋1a，＋∞；由F′(x)0，得x∈(x1，x2)．∴当－12a0时，函数F(x)的单调减区间为－∞，1a，1a，2a＋1a，－2a＋1a，＋∞；函数F(x)的单调增区间为2a＋1a，－2a＋1a.③当2a＋1＝0，即a＝－12时，由①知，函数F(x)的单调减区间为(－∞，－2)及(－2，＋∞)．专题十七│要点热点探究【点评】根据三个二次之间的关系可得，解不等式，关键是求出对应方程的根，本题的讨论就是从F′(x)＝0有没有根开始的．本题有两个细节：一是函数的定义域不能丢；二是导函数方程出现等根时，此时函数依然是单调函数，例如y＝x3.规律技巧提炼专题十七│规律技巧提炼1．含有参数的不等式的解法解含参数的不等式时，首先应注意考查是否需要进行分类讨论．如果遇到下述情况则一般需要讨论：第一层：讨论最高次项的系数决定对应函数形式；第二层：讨论对应方程的根的个数；第三层：在有多个根的情况下，讨论方程的根的大小．2．用“线性规划”的方法解决最值问题的本质是：寻找出双变量z＝f(x，y)的几何意义，然后找出x，y这两个自变量所满足的几何区域，通过图形得到一种求解双变量最值的几何方法．专题十七│江苏真题剖析例[2010·江苏卷]设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．江苏真题剖析【分析】运用待定系数法，则线性多项式mx＋ny的取值范围都可以求解，当然形如xmyn的取值范围也可以用此方法求解．或用取对数的方法将问题转化为线性规划问题，这是把指数式化成整式的途径之一．【答案】27【解析】方法1：x2y2∈[16,81]，1xy2∈18，13，x3y4＝x2y2·1xy2∈[2,27]，所以x3y4的最大值是27.方法2：由条件得lg3≤lgx＋2lgy≤3lg2,2lg2≤2lgx－lgy≤2lg3，设m＝lgx，n＝lgy，则lg3≤m＋2n≤3lg2,2lg2≤2m－n≤2lg3，设t＝3lgx－4lgy＝3m－4n，由线性规划可得，将四个端点分别代入，可得最大值为27.专题十七│江苏真题剖析设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，解不等式h(x)≥1.专题十七│江苏真题剖析【解答】(1)若f(0)≥1，则－a|a|≥1⇒a0a2≥1⇒a≤－1.(2)当x∈(a，＋∞)时，由h(x)≥1得3x2－2ax＋a2－1≥0，原不等式即为3x2－2ax＋a2－1≥0，*xa，又Δ＝4a2－12(a2－1)＝12－8a2，所以(i)当a≤－62或a≥62时，Δ≤0，此时(*)式的解为一切实数，故此时原不等式组的解集为xa；(ii)当－62a62时，Δ0，原不等式组等价于x－a－3－2a23x－a＋3－2a23≥0，xa.令aa＋3－2a23即2a3－2a2，平方得a212且a0，得a≥22.专题十七│江苏真题剖析①当a∈22，62时，解集为(a，＋∞)；令aa－3－2a23即2a－3－2a2，当a≥0时，无解，当a0时，平方得a212，即a－22，②当a∈－62，－22时，解集为a，a－3－2a23∪a＋3－2a23，＋∞；③当a∈－22，22时，a－3－2a23≤a≤a＋3－2a23，此时原不等式组的解集为a＋3－2a23，＋∞.专题十七│江苏真题剖析专题十八基本不等式的应用专题十八基本不等式的应用主干知识整合专题十八│主干知识整合1．基本不等式如果a≥0，b≥0，那么a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．2．基本不等式的常见变形∀x∈R＋，x＋1x≥2；∀a，b∈R＋，ab＋ba≥2.∀a，b∈R，ab≤a＋b22≤a2＋b22；∀a，b∈R＋，ab≤a＋b2≤a2＋b22.专题十八│主干知识整合3．极值定理已知x、y∈R＋，x＋y＝P，xy＝S.有下列命题：(1)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2S；(2)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值P24；(3)应用此结论求最值时要注意三个条件：①各项均为正；②积或和为定值；③各项都能取得相等的值，简单地说“一正，二定，三相等”．要点热点探究专题十八│要点热点探究►探究点一用基本不等式求最值利用基本不等式求最值，主要指的是利用极值定理来求解．常见基本不等式模型为若ax0，bx0，则ax＋bx≥2ab.专题十八│要点热点探究例1(1)已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是________．(2)不等式a2＋3b2≥λb(a＋b)对任意a、b∈R恒成立，则实数λ的最大值为________．专题十八│要点热点探究(1)7(2)2【解析】(1)由log2(m－2)＋log2(2n－2)＝3，得(m－2)(n－1)＝4，则m＝4n－1＋2，所以m＋n＝4n－1＋2＋n＝4n－1＋(n－1)＋3≥24＋3＝7(当且仅当“n＝3”时，取等号)，故m＋n的最小值为7.(2)因为要求λ的最大值，所以只需要考查b(a＋b)0的情况．假设b(a＋b)0，所以由a2＋3b2≥λb(a＋b)⇒λ