2007.3.16函数的极值与导数

课堂训练理解极值极值与导数的关系复习与课前训练课前训练答案本课小结作业:课本34PA组5⑶函数的极值与导数课前训练:求函数31443yxx的单调区间,并画出其图象大致形状.函数的极值与导数前面我们学习了运用导数来判断函数的单调性的方法课前训练答案已知函数()yfx在某个区间内可导,函数在该区间如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间上单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间上单调递减．如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间上是常数函数．注:1.用导数法讨论函数的单调性的步骤：⑴求出函数的导函数;⑵解不等式()0fx，求得其解集，再根据解集写出增区间;⑶解不等式()0fx，求得其解集，再根据解集写出减区间;2.已知函数的单调性求参数的取值范围问题时常利用下面关系来求解：“若函数单调递增,则()0fx≥;若函数单调递减,则()0fx≤”.注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解，但同时也要注意检验是否恒等于0,否则也可能会增解.课前训练:求函数31443yxx的单调区间,并画出其图象大致形状.解：∵24yx画出其大致形状如图所示.oxy22若令2124022yxxx，解得,这两个点有什么特殊性?这两个点在图象中的位置给我们什么感觉?一个峰顶,一个谷底令2402yxx，解得或2x,令24022yxx，解得,∴函数31443yxx的单调递增区间是(,2)和(2,+∞).∴函数31443yxx的单调递减区间是(2,2).点Q情况极值概念观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的相对其他点有什么特别?oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大.函数图像中的点Q呢?观察下图中Q点附近图像从左到右的变化趋势、Q点的函数值以及点Q位置的相对其他点有什么特别?oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))函数图像在Q点附近从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递增变为单调递减），在Q点附近，Q点的位置最低，函数值最小.如图,把点1x叫做函数()yfx的极大值点,点2x叫做函数()yfx的极小值点.一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹥f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值.函数极值的定义oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))概念说明极大值极小值（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;极值概念:oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.极大值极小值极值与导数有什么关系?试做课本例4方法步骤观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0f(x)=0增减极小值f(x)0可不可以用导数来求极值点呢?请问如何判断f(x0)是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小导数为零的点就一定是极值点吗？31443f(x)xx例：4求函的极值数解:∵f(x)=x2-4,由f(x)=0解得x1=2,x2=-2.∴当x=2时,y极小值=28/3；当x=-2时,y极大值=-4/3.f(x)f(x)x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+00-+极大值28/3极小值-4/3当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表：试概括求可导函数的极大(小)值的步骤:求可导函数的极大(小)值的步骤:①确定函数的定义域；②求导数;()fx④检查,方程＝0的根的左、右两侧的符号，确定极值点.(最好通过列表法)()fx()fx③求方程()fx=0的根,这些根也称为可能极值点；强调:要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)=0左右侧导数的符号.(最好列表)2(1)答案2(2)答案yabx1x2x3x41()fx4()fxOx2()fx3()fx练习1.观察下面函数图象,试指出该函数的极值点,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.练习2：求下列函数的极值.(1)y=x2－7x+6(2)y=x3－27x答：由图可知1,x3x是极大值点2,x4x是极小值点(1)y=x2－7x+6(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=72.当x变化时，y′，y的变化情况如下表.x7,2727,2y－0+y↘极小值254↗∴当x=72时，y有极小值，且y极小值=－254(2)y=x3－27x解：2327yx=3(x+3)(x－3)令0y，解得x1=－3，x2=3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表x,3-3(-3,3)33,y+0－0+y↗极大值54↘极小值-54↗∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54自我小结一下1、极值的概念与极值的判定方法2、可导函数的极值的求法.学习小结:本节课主要学习了哪些内容？请想一想？注意点：1、f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件2、数形结合以及函数与方程思想的应用3、要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)=0左右侧导数的符号.2.（2006年天津卷)函数的定义域为开区间()fx导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有（）个极小值点。()fx(,)ab(,)ab(,)ab()fxA课外练习:1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为.21aa或(A)1(B)2(C)3(D)4abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?O作业:课本34PA组5⑶行动指南：策略＋方法＋勤奋＋信心＋恒心＝成功