中考数学总复习26→锐角三角函数复习课件

点击进入相应模块第二十六讲锐角三角函数1.理解锐角三角函数(sinA,cosA,tanA)的概念,知道30°，45°，60°角的锐角三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角.2.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.一、特殊角的三角函数值sinαcosαtanα30°45°60°锐角α三角函数1232332222321231【即时应用】1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC,则tanA=__.2.sin60°·tan30°+cos60°=__.3.若α，β为锐角，且tanα＞tanβ,则α___β.11＞二、三角函数之间的关系1.同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系：(1)sin2α+cos2α=__；(2)tanα=_______.2.互为余角的正弦、余弦的关系：sin(90°-α)=_______;cos(90°-α)=_______.1sincoscosαsinα【即时应用】1.若α为锐角，且sinα=,则cosα=____,tanα=___.2.在Rt△ABC中，∠C=90°,sinA=，则cosB=__.132232445451.三边之间的关系：________.2.两锐角之间的关系：____________.3.边角之间的关系:sinA=__,sinB=__,cosA=__,cosB=__,tanA=__,tanB=__.a2+b2=c2∠A+∠B=90°acbcbcacabba三、直角三角形中的边角关系在Rt△ABC中，∠C=90°,a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.【即时应用】1.在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,AC=3,则BC=__，AB=__.2.在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=1,AB=,则∠A=____,AC=__.3.在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,sinA=,则AB=___.336245°13510四、解直角三角形的应用实际问题中术语的意义：(1)仰角和俯角：如图，在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线上方的叫做_____，在水平线下方的叫做_____.仰角俯角(2)方向角和方位角方向角:指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角.如图,OA为_______60°,OB为_______30°,OC为_______70°.方位角:从某点的指北方向按___时针转到目标方向的水平角.如图,OD的方位角为120°.北偏东南偏东北偏西顺(3)坡度和坡角：从点P上坡走到点N时，____________与________________的比叫做坡度，用字母i表示，即i=__.坡面与水平面的夹角叫做_____，记作α.升高的高度h水平前进的距离lhl坡角【即时应用】1.如图，从点A看点B的___角为____.2.如图,OA的方向角为__________,方位角为_____.仰50°南偏西30°210°3.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为_____.4.某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i1=1∶，坝外斜坡的坡度i2=1∶1，则两个坡角的和为____.51∶2375°【核心点拨】1.当∠A为锐角时,0sinA1,0cosA1,tanA0.2.锐角三角函数的值是一个比值,没有单位,它只与角的大小有关系,而与三角形的三边长无关.3.研究和运用三角函数的前提是在直角三角形中,若无此前提,则要设法构造直角三角形.4.坡度是描述斜坡倾斜程度的量，它等于坡角的正切值.5.解直角三角形需已知直角三角形中的除直角外的两个元素(至少有一个为边)，而用直角三角形边角关系解决实际问题的关键是建立数学模型.求三角函数值◆中考指数:★★★★☆知识点睛求锐角三角函数值常用的四种方法：1.设法求出角的度数，然后利用特殊角的三角函数值求值.2.构造直角三角形，把锐角放在直角三角形中，然后利用锐角三角函数的定义求解.3.找出一个与之相等的角，其等角的三角函数值即为此角的三角函数值.4.借助于三角函数间的关系求三角函数值.特别提醒锐角的三个三角函数值是在直角三角形中定义的，若无直角三角形，则要设法构造直角三角形.【例1】(2012·内江中考)如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为()(A)(B)(C)(D)【思路点拨】构造直角三角形→计算sinA→结果12551010255【自主解答】选B.如图，连结CD，令每个小正方形网格的边长为1，则∴CD2+AD2∴△ACD为直角三角形，∴sinCD2AD22AC10.，，22222221010AC,（）（）（）CD25A.AC510【对点训练】1.(2012·乐山中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为()(A)(B)(C)(D)1【解析】选C.设BC=k,则AB=2k，由勾股定理得所以1222322222ACABBC2kk3k（），AC3k3sinB.AB2k22.(2011·陕西中考)在△ABC中，三边BC,CA,AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB=()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.设BC=5k，则CA=12k，AB=13k，∵BC2+CA2=AB2，∴△ABC是直角三角形．∴在Rt△ABC中，5121255131213BC5k5cosB.AB13k13【高手支招】在解答所求的结论与线段的比有关的问题时，都可以用设参数“k”的方法求解.由此可以将原有的比值,转化成为具体的数量,再结合题中的其他条件列出含“k”的等式或者是间接求得其他的比值.3.(2012·德阳中考)某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP=()(A)(B)2(C)(D)231255255【解析】选A.如图所示,∵∠APC=30°,∠BPC=60°,∴∠APB=90°.又∵PB=60×=40,∴tan∠ABP=23AP1.PB24.(2012·岳阳中考)如图,在顶角为30°的等腰三角形ABC中,AB=AC,若过点C作CD⊥AB于点D,则∠BCD=15°.根据图形计算tan15°=______.【解析】设CD=x,因为∠A=30°,所以AC=2x,AD=x,则AB=2x,BD=2x-x=(2-)x,所以tan15°=答案：2-333BD23x23.CDx（）3解直角三角形◆中考指数:★★★☆☆知识点睛解直角三角形的四种类型及方法：1.已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法：∠B=90°－∠A，a=csinA，b=ccosA(或).2.已知一直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法：∠B=90°－∠A，(或).3.已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法：,由sinA=求出∠A，∠B=90°－∠A.4.已知两条直角边a和b，其解法：，由tanA=得∠A，∠B=90°－∠A.22bcaaacbsinAtanA，22bca22cabacab22bca特别提醒解直角三角形时要尽量利用原始数据，以防止“累积误差”，一般地：“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦用切(正切)，宁乘毋除，取原避中”是解直角三角形的原则，必要时，画图帮助分析.【例2】(2012·上海中考)如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=．(1)求线段CD的长；(2)求sin∠DBE的值．【思路点拨】(1)据已知→求AB→CD(2)据勾股定理→求BC→求DE→sin∠DBE35【自主解答】(1)因为∠ACB=90°，AC=15，cosA=,所以AB==25.又因为D为边AB的中点，所以CD=AB=12.5.(2)在Rt△BCE和Rt△DBE中，BE2=BD2-DE2=BC2-CE2,设DE的长为x，则12.52-x2=202-(12.5+x)2，解得x=3.5，所以sin∠DBE=35ACcosA1222BCABAC20，DE3.57.BD12.525【对点训练】5.(2012·衡阳中考)如图,菱形ABCD的周长为20cm,且tan∠ABD=,则菱形ABCD的面积为_________cm2.43【解析】连结AC交BD于点O,则AC⊥BD.∵菱形的周长为20cm,∴菱形的边长为5cm.在Rt△ABO中,tan∠ABD=.故可设AO=4x,BO=3x,又AB=5cm，因此根据勾股定理可得AO=4cm，BO=3cm，∴AC=8cm,BD=6cm,∴菱形ABCD的面积为:×8×6=24(cm2).答案：2443126.(2012·安徽中考)如图，在△ABC中，∠A=30°,∠B=45°,AC=2,求AB的长.3【解析】如图，作CD⊥AB,垂足为D，在Rt△ACD中，∵AC=2,∠A=30°,∴AD=AC·cos30°=2·在Rt△BCD中，∵CD=,∠B=45°,∴BD=，∴AB=AD+BD=3+.33233,CD3.2233337.(2012·淮安中考)如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°,BD=10,AB=20.求∠A的度数.【解析】在Rt△BDC中，BC=BDsin45°=10.又∵AB=20,∴sinA=,∴∠A=30°.212锐角三角函数的应用◆中考指数:★★★★★知识点睛用直角三角形边角关系解决实际问题的关键是建立数学模型，常见的基本模型有：知识点睛特别提醒1.坡度是斜坡的倾斜程度，而不是斜坡的角度.2.仰角和俯角都是视线和水平线的夹角.【例3】(2012·邵阳中考)某村为方便村民夜间出行,计划在村内公路旁安装如图所示的路灯,已知路灯灯臂AB的长为1.2m,灯臂AB与灯柱BC所成的角(∠ABC)的大小为105°,要使路灯A与路面的距离AD为7m,试确定灯柱BC的高度.(结果保留两位有效数字)【教你解题】【对点训练】8.(2012·嘉兴中考)如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于()(A)asin40°米(B)acos40°米(C)atan40°米(D)【解析】选C.∵在Rt△ABC中，tanC=∴AB=atan40°.AB,ACatan40米9.河堤横断面如图所示，堤坝BC=5米，迎水坡AB的坡比是1∶，则AC的长是()(A)米(B)10米(C)15米(D)米【解析】选A.∵∴(米).53103BC1,AC3AC3BC53310.(2012·株洲中考)数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度.小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是______米.【解析】10×tan60°=(米).答案：10103103311.(2012·益阳中考)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速,如图,观测点设在A处,离益阳大道的距离(AC)为30米.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒,∠BAC=75°.(1)求B,C两点间的距离.(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度?(计算时距离精确到1米,参考数据:sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒)3【解析】(1)方法一:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC·tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112(米).方法二:在BC上取一点D,连结AD.如图,使∠DAB=∠B,则AD=BD.∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°.