南昌大学概率论习题答案

1练习一一、1．B2.A3.C4.D二.1.88365365A2.41/903.25/424.1215.0.40.66.152三、已知：P(A)=0.45，P(B)=0.35，P(C)=0.3，P(AB)=0.1，P(AC)=0.08，P(BC)=0.05，P(ABC)=0.03(1)3.0)]()()([)()}({)()(ABCPACPABPAPCBAPAPCBAP(2)07.0)()()(ABCPABPCABP(3)3.0)(CBAP23.0)]()()([)()}({)()(ABCPBCPABPBPCABPBPCBAP2.0)]()()([)()}({)()(ABCPBCPACPCPBACPCPCBAP得73.0)()()(CBAPCBAPCBAPP(4)14.0)()()()(ABCBCPABCACPABCABPBCACBACABPP(5)P(A∪B∪C)=0.73+0.14+0.03=0.9(6)1.09.01)(CBAP四、令x、y为所取两数，则={(x,y)|0x1,0y1}；令事件A：“两数之积不大于2/9，之和不大于1”，则A={(x,y)|xy≤2/9,x+y≤1,0x1,0y1}S=SOAED=1×1=1；2ln9231)921(11213231dxxxSSA阴得2ln9231SSPA2练习二一、1．B2.B3.D4.C二、：“全厂的产品”；A、B、C分别为：“甲、乙、丙各车间的产品”，S：“次品”，则(1)由全概率公式，得P(S)=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)+P(C)P(S|C)=25%×5%+35%×4%+40%×2%=3.45%(2)由贝叶斯公式，得%23.366925345125%45.3%5%25)()|()()|(SPASPAPSAP三、设A=从第一批产品中任取一件时，取到废品B先从第一批产品中任取一件放入第二批中，再从第二批产品中任取一件，此时取得废品由全概率公式知)()()()()(ABPAPABPAPBP=132131111211112121四、101)(,157)(,154)(ABPBPAP有：143157101)()()|(BPABPBAP83154101)()()|(APABPABP3019)()()()(ABPBPAPBAP五、bBAPbaBPBAPBPAPBPABPBAP)()()()()()()()|(又P(A∪B)≤1，则bbaBAP1)|(3练习三一、1．B2.A3.C4.D5.B二、A1、A2、A3分别“甲、乙、丙击中飞机”，则A1、A2、A3相互独立Bi：“有i个人击中飞机”（i=1,2,3），有：31iiB；B：“飞机被击落”由已知：P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3)=0.73213213211AAAAAAAAAB36.0075.06.03.05.06.03.05.04.0)()()()()()()()()()(3213213211APAPAPAPAPAPAPAPAPBP41.0)(23213213212BPAAAAAAAAABB3=A1A2A3P(B3)=0.14又P(B|B1)=0.2，P(B|B2)=0.6，P(B|B3)=1由全概率公式，得：458.0114.06.041.02.036.0)|()()(31iiiBBPBPBP三、Ai：“C发生时第i只开关闭合”，由已知有：P(Ai)=0.96(1)P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)P(A1A2)=0.96+0.960.96×0.96=0.9984(2)设需k只开关满足所需可靠性，在情况C发生时，k只开关中至少有一只闭合的概率为：39999.004.01)96.01(1)()()(1)(1)(1)(min21212121kAPAPAPAAAPAAAPAAAPkkkkkk四、(1)3087.0)3.01(3.0)2(32255CP(2)A：“5个样品中至少有2个一级品”，有：447178.07.03.01)(1)()(1055105525iiiiiiCiPiPAP练习四一、1.D2.D3.A4.B二、(1)任掷两骰子所得点数和i有212共11种可能令i表示和数为i的样本点(i=2,3,…,12),则基本事件集={2,3,…,12}(2)由已知,得：i，有(i)=2i(i=2,3,…,12）,则的可能值为2i(i=2,3,…,12）(3){4}=；{≤5.5}={=4}={2}；{6≤≤9}={=6}∪{=8}={3}∪{4}；{20}={=22}∪{=24}={11}∪{12}(4)P{4}=0；P{≤5.5}=P{2}=1/36；P{6≤≤9}=P{3}+P{4}=2/36+3/36=5/36；P{20}=P{11}+P{12}=2/36+1/36=3/36=1/12三、(1)的所有可能值为0，1，2P{=0}=3522315313CC；P{=1}=351231521312CCC；P{=2}=35131511322CCC故的分布律为：(2)F(x)=P{≤x}当x0时，{≤x}为不可能事件，得F(x)=P{≤x}=0当0≤x1时，{≤x}={=0}，得F(x)=P{≤x}=P{=0}=22/35当1≤x2时，{≤x}={=0}∪{=1}，又{=0}与{=1}是两互斥事件，得F(x)=P{≤x}=P{=0}+P{=1}=22/35+12/35=34/35当x≥2时，{≤x}为必然事件，得F(x)=P{≤x}=1综合即得四、（1）由分布函数的性质)0()0(,1)(FFF得;10,1BBAA（2）对)(xF分段求导得X的概率密度为22,0,()0,0;xxexfxx（3）(ln4ln9)(ln9)(ln4)PXFF=61)1()1(24ln29lnee.五、(1)11111)(112AAdxxAdxxf(2)3111)2121(21212dxxP(3)dttfxFx)()(当x－1时，00)(dtxFx当－1≤x≤1时，xdtxdtxFxarcsin121110)(121当x1时,10110)(11121dtdtxdtxFx综合即得012P22/3512/351/355六、(1)P{2≤5}=Φ(235)Φ(232)=Φ(1)Φ(0.5)=Φ(1)[1Φ(0.5)]=0.5328P{410}=Φ(2310)Φ(234)=Φ(3.5)Φ(3.5)=2Φ(3.5)1=0.9996P{||2}=1P{2≤≤2}=1Φ(232)+Φ(232)=1Φ(0.5)+Φ(2.5)=0.6977P{3}=1P{≤3}=1Φ(233)=1Φ(0)=10.5=0.5(2)P{C}=1P{≤C}=P{≤C}P{≤C}=0.5Φ(23C)=0.523C=0C=3练习五一、1．A2.B3.C4.B5.B二、)1,0(,0)1,0(,1)(xxxfX(1)y=ex在(0,1)严格单调增且可导，则x=lny在(1,e)上有：(lny)=y1∴其它,01|,1|)(ln)(eyyyfyfXY其它,01,1)(eyyyfY(2)y=2lnx在(0,1)严格单调减且可导，则2yex在(0,+)上有：2221)(yyee∴其它,00|,21|)()(22yeefyfyyXY其它,00,21)(2yeyfyY三、X的概率密度为其它,0]2/,2/[,/1)(xxfX易知Y的取值区间为[0，1]；以下分三段求Y的分布函数)()(yYPyFY（1）当y＜0时，0)()(PyFY；（2）当0y＜1，如图所示，()()(cos)YFyPYyPXy=(arccosarccos)22PXyyX或=arccos2arccos211yydxdx=2arccos1y；（3）当1y时，()()()1YFyPYyP对()YFy分段求导得Y的概率密度为22,01()10,Yyfyy其它6四、五、(1)12112/1),(0403kkdyedxekdxdyyxfyx(2)其它,00,0),1)(1(12),(),(4300)43(yxeedxdyedxdyyxfyxFyxyxyxyx(3)P(0X≤1,0Y≤2)=F(1,2)F(1,0)F(0,2)+F(0,0)=(1e3)(1e8)练习六1．(1)2211),(AAdxdyyxf(2)161)1)(1(11010222dxdyyxP(3))1(1)1)(1(1)(2222xdyyxxfX，同理)1(1)(2yyfY有f(x,y)=fX(x)fY(y)，故X与Y独立2．X与Y独立，则P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}有：3．(1)2,10)]3/()[2/(0),(0)2/)](2/([0),(1)2/)(2/(1),(2CBAyarctgCBAyFCxarctgBAxFCBAF(2))9)(4(6),(),()32)(22(1),(22222yxyxyxFyxfyarctgxarctgyxF(3)2121)22)(22(1),()(2xarctgxarctgxFxFX则有)4(2)(2xxfX；同理得：3121)(yarctgyFY，)9(3)(2yyfY4．5．设第i周需要量为Xi（i=1,2）0,00,)(iixiiXxxexxfii(i=1,2)令X=X1+X2，则其它,00,0,),(21)(212121xxexxxxfxx0,00,)12161(1),()(2320)(2101212112121xxexxxdxexxdxdxdxxxfxFxxxxxxxxxX0,00,61)(3xxexxfxX6．dxdyyxfdxdyyxfzZPzFzyxzyxZ22),(),()()(YX01231303/83/801/8001/8YX2101/21/2131/81/61/241/61/161/121/481/121/161/121/481/12X+Y323/211/21/2123P1/121/122/123/121/1202/1202/127(1)z≤0FZ(z)=0；(2)zzxzyxzZzeedyedxzFz2220)(2021)(0故0,00,4)(0,00,21)(222zzzezfzzzeezFzZzzZ