套利定价理论假设Arbitrage

2019年7月30日1FinancemanagementArbitragePricingTheory,APTLecturebyHua-Ching,Cheng,PhDMay,03,20042019年7月30日2ArbitragePricingTheory•前言Forward•套利定價理論假設ArbitragePricingTheoryAssumptions•套利定價模式Arbitragepricingmodel•實證與測試ProofandtestAPT•APT與CAPM比較2019年7月30日3•標準CAPM模式是基於平均值-變異數組合理論分析。投資者最好投資是基於選擇期望報酬與變異數E(Ri)=Rf+β（E(Rm)-E(Rf)）•Roll’scritique（1977）CAPM中，市場投資組合（Marketportfolio,E(Rm)）是所有證券平均值與變異數效率組合。這種組合是事後效率（Expostefficient）,所以應該沒有證券可以得到任何異常報酬（nosecuritieshaveabnormalperformance），但事實上證券組合存在異常報酬。因此所有證券所組成的市場投資組合不會是有效率組合（AnyExpostinefficientindexispossible）1.前言2019年7月30日42.APT假設•Ross(1976,JET)發展套利定價理論ArbitragePricingTheory(APT)。從套利的觀點來看資產價值訂定。•APT模式主要是基於套利單一價格法則（thelawofoneprice）:一種資產不會有兩種價格（twoitemsthatarethesamecannotsellatdifferentprices.）•原來平均值變異數的架構替換成證券報酬產生的過程（theprocessgeneratingsecurityreturns.）•APT模式，報酬產生過程是多指數模式（multi-indexmodel）也就是說報酬率是由很多變數所影響，β只是其中一項，還有很多因素會影響報酬率的形成的。2019年7月30日5APT假設•同CAPM中所設定的均衡模式條件•消費者也是相同的預期（homogenousexpectations）。不同的是不必對投資者的效用函數作假設。2019年7月30日63.APT模式說明基本型式（Factoranalysis）•Ri=E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…+bikFk＋εi•Ri=第i個資產隨機報酬率•E（Ri）=第i個資產期望隨機報酬率•bik=第i個資產報酬率對第k個共同因素的敏感程度•Fk=所有資產所面對的第k個共同因素•εi=第i個資產報酬率函數式的殘差2019年7月30日7•Ri＝E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…＋εi•R1＝E（R1）＋b11F1＋b12F2＋b13F3＋…＋ε1•R2＝E（R2）＋b21F1＋b22F2＋b23F3＋…＋ε2•R3＝E（R3）＋b31F1＋b32F2＋b33F3＋…＋ε3•R4＝E（R4）＋b41F1＋b42F2＋b43F3＋…＋ε4•R5＝E（R5）＋b51F1＋b52F2＋b53F3＋…＋ε5•Rp＝ΣwiE（Ri）＋Σwiβi1Fi＋…＋Σwiεi＝ΣwiE（Ri）2019年7月30日8•理論上，當殘差項為0，報酬可以為所有因子所解釋，截距E（Ri）為預期平均報酬•共同因子F的係數b，稱為因素負荷量factorweightorfactorloading.•共同因子F有下列關係存在，COV（Fi,Fj）=0Cov(εi,εj)=0Cov(Fi,εi)=0且εi～n（0,σ2）2019年7月30日94.重要APT條件•Σwi＝0在沒有套利的機會下，增加某一證券比重，就要減少其他證券持有的比例。套利不會增加投資者財富。Rp＝ΣwiE（Ri）＋Σwibi1Fi＋…＋ΣwibikFk+Σwiεi•wi≒1/n，n→∞，Σwibik＝0在多個不同共同因素結構中，在沒有套利的機會下，不會因為操弄不同的因素，利用不同因素權重的比值，可以獲得額外的報酬。Rp＝ΣwiE（Ri）＋Σwibi1Fi＋…＋ΣwibikFk＝ΣwiE（Ri）•ΣwiE（Rik）＝0表示在沒有套利的機會下，任何風險資產的組合，不會獲得額外的財富。﹌2019年7月30日10•Chen,RollandRoss(1986,JoB)usemacroeconomicvariablessuchas.thegrowthrateinindustrialproduction,unexpectedinflation,thetermstructureofinterestrates,andriskpremia•BurmeisterandMcElroy(1988,JoF)alsousemacroeconomicvariablessuchasadefaultrisk,timepremium,unexpectedinflation,changeinexpectedsales,etc.•Sharpe(1982,JPM)usesfinance/accountingtypevariablessuchasthereturnonthemarket(S&P500),dividendyield,returnonlong-termbonds,firmsize,etc.5.APT多指數實證研究2019年7月30日11APT多指數影響因素•工業生產指數成長率（IP,growthrateofindustrialproduction）•不同等級債券殖利率之差（riskpremium）：等級較差債券負擔較高風險溢酬，隱含市況不佳，投資人悲觀，對報酬率為負面影響。•不同到期日債券利率之差（Termstructureofinterestrates）：正常情況下，長期債券利率大於短期利率。石油危機，發生高通膨，兩者利率差加大，若沒有通膨壓力，與報酬率正相關•不同預期的通貨膨脹率（Unexpectedinflation）2019年7月30日126.APT驗證•基本上有兩種方法驗證APT.•第一種方法是使用因素分析法•第二種方法是採用FamaandMacBeth(1973,JPE)兩階段步驟•使用第一種方法如本章前所述。APT是一個報酬產生的多指數模式•Ri=E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…+bikFk＋εi2019年7月30日13•第二種方式，一樣先算出因素分析•再利用因素負荷組成風險價格（theprice's('s)ofeachrisk）•在均衡時，找出期望報酬在各個因素負荷下的最適組合ijj2i21i10ib...bb=)R(EFamaandMacBeth(1973)兩階段步驟2019年7月30日14APT第二種方法說明•使用APT，將所有投資組合構成一個平面2i21i10ibb=)R(E(8)•1and2arethereturnsforbearingrisksassociatedwithindices(orfactors).•iarecalledfactorprices（因素風險價格）•andbijarecalledfactorrisks（因素風險）.•ThisistheequilibriummodelproducedbytheAPTwhenreturnsaregeneratedbythetwo-indexmodel.2019年7月30日156.APT例題講解•如果能夠完全多角化，僅會存在系統風險。•影響系統風險，用b‘s因子負荷量表達.itt22it11iiiteIbIba=R•投資人可用APT多指數模型說明均衡狀況。•為求簡化，設兩個指數模型。如下2019年7月30日16例題討論市場上三個基本組合PortfolioExpectedReturnbi1bi2A15%1.00.6B14%0.51.0C10%0.30.22019年7月30日17•從上述三個組合，可以產生一個均衡平面的資訊•可以用bi1,bi2因素負荷，作成一個平面2i21i10ibb=)R(E•將例題數據bi1,bi2帶入，求聯立方程式，可以得到下列公式與's.•這一條就是APT模式下，均衡報酬率公式2i1iib75.3b575.7=)R(E2019年7月30日18•如前述，期望報酬與風險因子的關係下。N1iijipjN1iiip.2,1jbXb)R(EX=)R(E(5)2019年7月30日19•將b‘s帶入公式D1D2111b=(1.0)(0.5)(0.3)0.6333111b=(0.6)(1.0)(0.2)0.6333(6)•假設另有一組合E，期望報酬E(RE)=15%,bE1=0.6與bE2=0.6.•另一組合D，其組合是由前面ABC三種證券所組合，各三分之一D=A+B+C.•使用前述報酬率公式，E(RD)=13%.•組合D計算公式如下：%13)6.0(75.3)6.0(575.7=)(DRE比較市場上組合D與E2019年7月30日20•經由這樣的組合，投資者在組合D與E，兩組風險是一樣的，都是b=0.6。•風險一樣，但兩組的報酬率不同，組合E是15%,組合D卻只有13%，會產生套利機會。根據單一價格法則，兩個組合應該會有相同報酬，只有一個報酬。•這時候，期初，套利者可以賣空組合D，比如說賣空(+€100)，同時買入組合E，支出(-€100).•假設套利者的套利組合，符合前述零投資（zeroinvestment），零系統風險（zerosystematicrisk），因此這個買進賣出，沒有增加投資額，期末，卻可以增加每€100.有期望獲利€2。•套利者會持續套利到組合E降到A,BandC(andD)的組合平面上。也就是說組合E應該會降到13%報酬率。證明套利的過程2019年7月30日21•假設若存在下列三種情形組合A.bp1=0bp2=0B.bp1=1bp2=0C.bp1=0bp2=1•在組合A中，E(RA)=0whichisthereturnonazero-bportfoliowhichwecallRF（無風險利率）ifarisklessassetexists.•在組合B中，E(RB)=RF+1whichimpliesthat1=E(RB)-RF.•在組合C中，E(RC)=RF+2whichimpliesthat2=E(RC)-RF.•上述這些特殊情形表示，j是異常報酬，異常報酬高低會受風險資產的影響。(onlysubjecttoriskj)套利特殊狀況說明2019年7月30日227.APT與CAPM比較研究•Chen,RollandRoss(1986,JoB),BurmeisterandMcElroy(1988,JoF)andSharpe(1982,JPM)allfindthatvariousfactorsaresignificantandtheirresultssuggestthatCAPMcanberejectedinfavourofAPT.•WhiletheAPTmodelismoregeneraltheCAPMitdoesnotsayanythingaboutthesizeorsignsofthefactorprices('s).•Thefactors(I’s)aredefinedforCAPMbutnotdefinedbyAPT.2019年7月30日238.APT與CAPM公式證明•TheexistenceoftheAPTmodelisnotnecessarilyinconsistentwithCAPM.•假設一個指數時。•Supposethatassumedmulti-indexmodelforgeneratingreturnsonlydependedononeindexnamelythereturnofthemarketportfolioitMtiiit