2018中考数学二次函数压轴试题分类精析专题02-二次函数中三角形与四边形面积最值问题-

一、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高3.一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式4.根据二次函数性质求出最大值.注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1.如图，已知抛物线(2)(4)yaxx(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线33yxb与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求△PBD面积的最大值．[来源:Z#xx#k.Com]【解析】：本题主要考查二次函数的图象与性质和二次函数的面积最值问题。（1）根据二次函数交点式得出A,B点坐标，从而求出一次函数解析式，根据已知的D点横坐标求出纵坐标从而求出抛物线解析式。（2）用三角形的面积公式建立函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得最大值。解答：(1)抛物线(2)(4)yaxx令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．DBOAyxC∵直线3-3yxb经过点B(4，0)，∴3-4=03b，解得43=3b，∴直线BD解析式为：343-33yx当x＝－5时，y＝33，∴D(－5，33)∵点D(－5，33)在抛物线(2)(4)yaxx上，∴(-52)(-54)=33a，∴39a．∴抛物线的函数表达式为：2332383(2)(4)=9999yxxxx．(2)设P(m,232383999mm)∴2134323839(3)()233999BPDSmmm△233=+10322mm23181=()+3228m∴△BPD面积的最大值为8138．【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223yaxaxa（0a）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：ykxb与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且4CDAC．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为425时，求抛物线的函数表达式；[来源:Zxxk.Com]FH再求得点P的纵坐标为m2-可得线段PF的长;解答：1）A（－1，0）∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4∴ayD5，∴)5,4aD（.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a（2）过点E作EH∥y轴，交直线l于点H设E（x，ax2－2ax－3a），则H（x，ax＋a）.∴aaxaxaaxaxaaxHE43)32()(22∴axaaaxaxSSSDEHAEHADE8125)23(25)43(2522△△△.∴△ADE的面积的最大值为a8125，∴4258125a，解得52a.∴抛物线的函数表达式为5654522xxy.【中考链接】3.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；【解析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；（2）过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为DM•OB，设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0＜m＜3；[来源:学科网]解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，[来源:Z+xx+k.Com]∴x=，∴D的坐标为（，﹣m2+2m+3），∴DM=m﹣=，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；四边形面积最值问题的处理方法核心步骤：对于普通四边形要转化成两个三角形进行研究，然后用求三角形面积最值问题的方法来求解[来源:Zxxk.Com]例题演示4.如图，已知抛物线213yxbxc经过ABCV的三个顶点，其中点(0,1)A，点(9,10)B，//ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标;【解析】：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）设点P（m，m2+2m+1），表示出PE=﹣m2﹣3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE，建立函数关系式，求出最大值即可解答：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，∴代入解析式求出b=2，c=1，∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1（2）∵AC∥x轴，A（0，1）∴=x2+2x+1=1，∴x1=6，x2=0，∴点C的坐标（﹣6，1），∵点A（0，1）．B（﹣9，10），∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，设点P（m，m2+2m+1）∴E（m，-m+1）∴PE=﹣m+1-（m2+2m+1）=﹣m2﹣3m，∵AC⊥EP，AC=6，∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC×EF+AC×PF=AC×（EF+PF）=AC×PE=×6×（﹣m2﹣3m）=﹣m2﹣9m=﹣（m+）2+，∵﹣6＜m＜0∴当m=﹣时，四边形AECP的面积的最大值是此时点P（﹣，﹣）．