概率论§2.3连续型随机变量

1§2.3连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间，对这种类型的随机变量，不能象离散型随机变量那样，以指定它取每个值的概率的方式去给出其概率分布，而是需要通过给出所谓“概率密度函数”的方式来描述。下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法。2定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在非负函数f(x),使得对于任意实数x,有连续型随机变量则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。()()xFxftdt可知,连续型随机变量的分布函数F(x)是整个实轴上的连续函数.若概率密度f(x)在点x连续,则F(x)=f(x)3分布函数F(x)与密度函数f(x)的几何意义xy-10-550.020.040.060.08F(x))(xfyx4概率密度函数f(x)的性质0)(xf1)(d)(Fxxf(3)常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。(1)(2)P(x1X≤x2)=F(x2)F(x1))()(2121xxdxxfxxxof(x)P(x1X≤x2)x2x1这条性质是密度函数的几何意义5注:对连续型随机变量X和任意实数a,总有P(X=a)=0,即,取单点值的概率为0∵a及0,有得P(X=a)=0{X=a}{aX≤a}0≤P(X=a)≤P(aX≤a)=F(a)F(a)0)]()([lim0aFaF6故:(1)P(A)=0A是不可能事件(2)连续型随机变量X落在区间的概率与区间是否包含端点无关即:P(aX≤b)=P(a≤Xb)=P(aXb)=P(a≤X≤b)7例1设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=Ae－|x|,x+试求:(1)常数A(2)P(0X1)(3)X的分布函数解:(1)dxAex||dxeAx02=2A=11)(dxxf21A8(3)x0x≤0dxxf10)(dxex1021)11(21edttfxFx)()(dtext||21dtexFxt21)(xe21dtedtextt002121dtexFxt||21)((2)P(0X1)xe2119X的分布函数为:综合得:0,2110,21)(xexexFxx10例2设随机变量X的概率密度为其它021210)(xxxxxf试求X的分布函数解:当x≤0时,dttfxFx)()(当0x≤1时,dttfxFx)()(dttfdttfx00)()(dttx022x=011当1x2时,dttfxFx)()(dttfdttfdttfx1100)()()(dttdttx110)2(12212xx当x≥2时,dttfxFx)()(dttfdttfdttfdttfx221100)()()()(dttdtt2110)2(=11221211221020022xxxxxxxxF综上所述,可得随机变量X的分布函数:13试求:(1)系数A和系数B(2)X的概率密度(3)例3设连续型随机变量X的分布函数为解:(1)F(+)=1)(lim22xxBeA=A=10,00,)(22xxBeAxFx)9ln4ln(XP右连续:得:A=1,B=1)(lim202xxBeA=A+B=0)0()(lim0FxFx14(2)f(x)=F(x)0,00,1)(22xxexFx0,00,22xxxex(3))9ln4ln(XP)4ln()9ln(FF)1()1(2ln3lnee21326115试求X的概率密度.例4设随机变量X的分布函数为.,1,1,ln,1,0)(exexxxxF.1)('1;0)('1xxFexxFexx时，当时，或当解:令其他,0,1,1)(exxxf则f(x)为非负函数16且对于任意实数x有dttfxFx)()(故X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)。注：当某一随机变量的分布函数F(x)连续，除有限个点外，导数F’(x)存在且连续时，则X为连续型随机变量，其概率密度可以按照下面的步骤来求。(1)在F’(x)存在的点x处，令f(x)=F’(x);(2)在F’(x)不存在的点x处，令f(x)为任意非负数17常见连续型随机变量的分布设连续型随机变量X具有概率密度则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。记为X～U[a,b]其它,0,1)(bxaabxf1.均匀分布18由上式求得X的分布函数:若X～U[a,b],[c,d][a,b],有:0,(),1,xaxaFxaxbbaxbdxxfdc)(dxabdc1abcdP(c≤X≤d)即随机变量X落在(a,b)内任何长为d–c的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比。可见，X落在长度相等的各个子区间的可能性相等。这正是几何概型的情形。19xf(x)abxF(x)ba概率密度函数的图像为分布函数的图像为20例4设随机变量X在(2,8)上服从均匀分布,求二次方程y2+2Xy+9=0有实根的概率.解:方程有实根=4X236≥0X≥3或X≤3由已知P{有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}dxdxdxP38830061651,28()60,Xxfx其它212.指数分布设连续型随机变量X具有概率密度则称X服从参数为的指数分布。由上式可得X的分布函数为100,(),0xexFxx~()XE记作,0()(0)0,0xexfxx22xF(x)0xf(x)0概率密度函数的图像为分布函数的图像为23用指数分布描述的实例有：(1)随机服务系统中的服务时间(2)电话问题中的通话时间(3)电子元件的寿命(4)动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似24例5某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一指数分布,概率密度为试求:在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率解:以Xi(i=1,2,3)表示第i只元件的寿命,则Xi的概率密度为0,00,6001)(6001xxexfx0,00,6001)(6001xxexfx25以Ai(i=1,2,3)表示事件“在最初200小时内,第i只元件损坏”,则A1,A2,A3相互独立,且P(Ai)=P(0≤Xi≤200)(i=1,2,3)dxxf2000)(dxex200060016001311e故所求概为:P(A1∪A2∪A3)=1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)]=1e1)(1321AAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP263.正态分布设连续型随机变量X具有概率密度则称X服从参数为,的正态分布。记为X～N(,2)其中,(0)为常数。xexfx,21)(222)(27棣莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。在十九世纪前叶高斯(Gauss)又将正态分布加以推广，所以正态分布也通常称为高斯分布。由密度函数可求得X的分布函数为22()21()2txFxedt正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，它在概率统计中占有特别重要的地位。28正态分布的图形特点2(,)N正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线特点是“两头小，中间大，左右对称”29正态分布的图形特点2(,)N决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度。—位置参数—形状参数30正态分布下概率密度函数f(x)的性质(1)图形关于直线x=对称：f(+x)=f(-x)(2)在x=时,f(x)取得最大值:21(3)在x=±时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点(4)曲线y=f(x)以x轴为渐近线(5)曲线y=f(x)的图形呈单峰状31应用场合若随机变量X受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加,则X服从正态分布。可用正态变量描述的实例：各种测量的误差；工厂产品的尺寸；海洋波浪的高度；热噪声电流强度等人的生理特征；农作物的收获量；学生们的考试成绩；32221()2txxxtdtedtx一种重要的正态分布N(0,1)—标准正态分布221(),2xxex其分布函数为如果随机变量X～N(0,1),则其密度函数为课本附有标准正态分布表P351，可查表求得(x)33(2)N(,2)的分布函数F(x)与N(0,1)的分布函数(x)的关系:N(0,1)的性质(1)对称性:(x)=(x)(x)=1(x))()(xxFxo-x(x)34(3)(4)ab,X～N(,2),有:)(1)(xxfdtexFxt222)(21)(tuduexFxu2221)()(x)()()(abbXaP35例2已知2~(2,)XN且P(2X4)=0.3,求P(X0)。解I:02(0)PX214222(24)PX2(0)0.320.82.0)0(XP例1课本P6936解II:图解法2.0)0(XP由正态分布的图形特点可知0.2-22460.050.10.150.20.337例3设X～N(3,4),试求:(1)P(2X≤5)(2)P(2X7)(3)若P(Xc)=P(X≤c),求c的值解:又=3,=2)()(xxF)23(x(1)P(2X≤5)=0.5328=F(5)F(2)=(1)(0.5)=(1)[1(0.5)])232()235(38(2)P(2X7)=F(7)F(2)=(2)(2.5))232()237(=0.9710=(2)[1(2.5)](3)P(Xc)=1P(X≤c)=P(X≤c)P(X≤c)=0.5F(c)=0.5c=35.0)23(c023c39例4设测量的误差X~N(7.5,100)(单位:米)。问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?解：105.710105.710)10|(|XP75.125.0]75.11[25.05586.040设A表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米9.0)5586.01(1)(nAPn3故至少要进行4次独立测量才能满足要求。