第六章-概率论-习题课

第六章数理统计的基本概念与抽样分布一、主要内容：1.总体和样本2.样本的分布3.统计量和样本矩（样本均值，样本方差，样本的K阶原点矩和中心矩）4.经验分布函数5.三大分布的定义及其性质（分布）6.几个重要的抽样分布定理Ft,,22分布的定义定义:设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为n的分布.nXXX,,,21222212nXXX22分布是由正态分布派生出来的一种分布.)(~22n记为nDnE2,22分布的密度函数的图形如右图.)(2nt分布的定义定义:设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量nYXT)(2n所服从的分布为自由度为n的t分布.记为T～.)(nt具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为:E(T)=0;D(T)=n/(n-2),对n2-2-1o2-3n=1n=4n=10xf(x)310.5t分布密度函数的图形即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.X的数学期望为:2)(22nnXE若n22称随机变量则分布F独立，若YXnYnX,),(~),(~2212).,(~,2121nnFFFnn分布，记作的是21//FnYnX所服从的分布为自由度1.00.20.40.60.82.03.04.0o(n1，n2)xf(x)(10，100)(10，10)(10，4)fx的图形如下图所示．定理1(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体),(2N的样本，则有),(~2nNX)1,0(~NnX定理2(样本方差的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体),(2N的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差,则有.)(相互独立和22SX2122~)1()1(nSn定理3设X1,X2,…,Xn是取自正态总体),(2N的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差,则有1~ntnSX定理4(两总体样本均值差的分布)，，设),(~),(~2221NYNXYX和分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,1nX是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,2221SS和则有Y1,Y2,…,2nY是样本221212222112121~112)1()1()(nntnnnnSnSnYX定理5(两总体样本方差比的分布)，设),(~),,(~222211NYNXYX和分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,1nX是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，2221SS和则有Y1,Y2,…,2nY是样本1,12222212121~nnFSSYX),(22212121nnN～二、典型例题例1．设总体X的数学期望为EX＝8，方差为DX＝2，为来自X的样本,为样本均值。)(,,2,1nXXXX._____)(XD______)(XE则则例2为来自两点分布B（1，p）的样本，（0p1），为样本均值)(,,2,1nXXXX________X)(D______)(2nSE________)X(E例3.设1.5,2,2.5,3,3.5,1.5为来自正态总体X的样本，求样本均值，样本方差的观察值。解:样本均值：6/14)5.15.335.225.1(616161iixx样本方差：])3/75.1()3/75.3()3/73()3/75.2()3/75.2()3/75.1[(51)(512222222612iixxs例4．盒中有三件产品，其中一件次品，二件正品，每次从中任取一件，记正品的件数是随机变量，有放回地抽取10次，得到容量为10的样本，求（1）样本均值的数学期望；（2）样本均值的方差；（3）的分布律。X1021,,,XXX101iiX3132P01X[分析]由题意可知总体表示从盒中任取一件产品的正品数，它服从0—1分布。设表示第次抽取的产品的正品数，它与总体同分布。[解]总体服从参数为的0—1分布（1）（2）iXiX)10,,2,1(iX32p923132)(,32)(XDXE32)()(XEXE45192101)(,101)(XDXD（3）因为服从参数为的0—1分布又相互独立，所以服从二项分布，即例5设总体在上服从均匀分布，是来自该总体的样本，求样本的联合概率密度。iX32p)10,,2,1(i1021,,,XXX101iiX)32,10(B10,,2,1,31321010101kCkXPkkkiiX],[banXXX,,,21[解]由已知条件，总体的概率密度为与同分布，即~的联合概率密度X其他,0;,1)(bxaabxfiXX其他,0;,,2,1,,1)(nibxaabxfiiiXnXXX,,,21其他,0;,,2,1,,)(1),,,(21nibxaabxxxfinn例6．设和是两个样本，且有如下关系求样本的均值和，样本方差与之间的关系。[解],nXXX,,,21nYYY,,,21且为常数）,0,.(,,2,1),(1baniaXbYiiXY2XS2YS)(1)(11111aXbaXbnYnYininiiaYbXniiniiniiYXXnbbaXbaXnYYnS12221122)(11111)(11221XSb即例7设总体服从正态分布，是该总体的样本，且知求样本容量的最小值（）。[解]查标准正态分布表所以样本容量n的最小值为35。X)3,(2NnXXX,,,2195.011XXPnniiXnX1195.0/1/111nnXPXPXXP3596.133/1nnn例8甲厂生产的一批灯泡，平均寿命为小时，标准差小时，乙厂生产的一批灯泡，平均寿命为小时，标准差为小时。从两批灯泡中分别抽取容量为的样本进行测试，问甲厂灯泡的样本的平均寿命比乙厂灯泡的样本平均寿命至少大160小时的概率是多少？[解]由于样本容量较大，可采用大样本方法。即140012001120021002125nXY125n),(~)1,0(~/21111nNXNnX即),(~)1,0(~/221222nNYNnY即本题求，由于与分别取自两个厂产品的样本平均值，所以相互独立。又由相互独立的正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量，可知故＝0.9772。（查表得）160YXPXY20012001400)(21YXE222222120125100200)(nnYXD)20,200(~2NYX)]2(1[1)2(102020016020200160YXPYXP)2(三、练习与答案一、选择题1．设是取自标准正态分布总体的一个样本，是样本均值，是修正样本方差，则（）成立。(a)(b)(c)(d)2．设总体服从自由度为的分布，是取自该总体的一个样本，则服从分布，且自由度为（）nXXX,,,21)1,0(NX2*nS)1,0(~NXn)1,0(~NX)(~212nXnii)(~*ntSXnk2nXXX,,,21niiXXn12(a)(b)(c)(d)3．设是取自正态总体的一个样本，则随机变量服从的分布为（）。(a)(b)(c)(d)4．设随机变量服从自由度为的分布，若知满足条件，则为（）。(a)(b)(c)(d)knnk)1)(1(kn2nknXXX,,,21),(2NniiXXnnX12)()1()()(nt)1(nt),1(nnF)1,(nnFX),(nnF05.0)(XP1XP95.005.0975.0025.0二、填空题1．设是来自正态总体的样本，令，且，则当()，（）时，统计量服从分布，其自由度为().2．设由4个个体，数2，3，5，6构成一个总体，有回放地抽取容量为3的样本，求得（），（）。3．设总体服从正态分布，是取自该总体的一个样本，样本均值，要使，则样本容量至少应取值=（）。nXXX,,,214321,,,XXXX)3,0(2N243221)3()2(XXbXXaX0baabX2)(XE)(2*4SEX)2.0,(2NniiXnX1195.01.0XPn三、计算题1．总体服从正态分布，是取自该总体的一个样本，试求：（1）（2）2．设总体服从正态分布，是取自该总体的一个样本，样本均值为，修正样本方差为。欲使得，则应为多少？3．设与是分别来自正态总体的两个相互独立的样本。试问统计量服从什么分布？参数是多少？请证明。X)2,60(2N4021,,,XXX5.060XP40126.88)60(iiXP),(2NX1621,,,XXXX2*nS95.0*nkSXPk921,,,XXX921,,,YYY)3,0(2N292221921YYYXXXU4．设是取自标准正态总体的一个样本，求，使得参考答案选择题1.c；2.b；3.b；4.a；填空题1.；2.,；3.；计算题1.(1)0.114;（2）0.01;2.;3.服从分布，参数是9;4.521,,,XXX)1,0(Nk90.025242321kXXXXXP2,901,45145.216n0124.7kt3664.1k