概率1-5-(续)

概率论第五节条件概率全概率公式贝叶斯公式小结布置作业概率论有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，123其中A1、A2、A3两两互斥看一个例子:三、全概率公式概率论将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(｜代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到即B=A1B+A2B+A3B，且A1B、A2B、A3B两两互斥概率论定义　,如果满足的一组事件是E1ijAAij122AnAA1212A,A,,A,A,A,,Ann则称为完全事件系或称.的一个划分为:注意12A,A,,A,n若为样本空间的一个划分,事件组则对每次试验12,A,,AnA中必有且仅有..分割成若干个互斥事件的划分是将一个事件发生12E,A,A,,An设是随机试验的样本空间概率论1定理,的样本空间为设试验E12,A,,AnA,01,2,,,iPAin为的一个划分且则对B,样本空间中的任一事件恒有1|niiiPBPAPBA概率论1|niiiPBPAPBA.全概率公式概率论某一事件B的发生有各种可能的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)所引起，则B发生的概率是每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解概率论由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸Ai是原因B是结果概率论例某保险公司把被保险人分为三类：“安全的”、“一般的”与“危险的”.统计资料表明，对于上述3种人而言，在一年期间内发生事故的概率依次为0.05,0.15与0.30.如果在被保险人中占15%，“一般的”占55%，“危险的”占30%，“安全的”试问：（1）任一被保险人在一年中发生事故的概率是多少（2）如果某被保险人在一年中发生了事故，则他属于“危险的”一类人的概率是多少？概率论该球取自哪号箱的可能性最大?这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:四、贝叶斯公式看一个例子:概率论接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式概率论有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?概率论某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.)()()|(11BPBAPBAP记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}求P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(｜运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?概率论njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(｜｜该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.ni,,,21贝叶斯公式定理2,,,21为样本空间的设nAAA,0,,则恒有且中的任一事件为一个划分BPB概率论贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.概率论例某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.CCC已知P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:设C={抽查的人患有癌症}，A={试验结果是阳性}，求P(C|A).概率论现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得)|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得P(C｜A)=0.10662.检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？概率论如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(C｜A)=0.1066P(C)=0.005概率论试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为P(C｜A)=0.10662.即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.概率论P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.概率论3,211个白乙盒装有个黑球个白球甲盒装有例.14,2采取掷一骰个黑球个白球丙盒装有个黑球球　点选乙盒、点选甲盒或、出现子决定选盒,54,321,,,6经过秘一个球在选出的盒里随机摸出点选丙盒,,求此球来自乙宣布摸得一个白球密选盒摸球后.盒的概率解,1摸出的球来自甲盒设A,2摸出的球来自乙盒A,3摸出的球来自丙盒A,摸得白球B概率论则,61,31,21321APAPAP.54|,53|,31|321ABPABPABP白球来自乙盒的概率为于是由贝叶斯公式可知31222|||iiiABPAPABPAPBAP5461533131215331.52概率论0,,2当发出信号由于随机干扰在数字通迅中例,0.20.71,,0,的概率分别是不清收到信号时,1,1;0.1和不清收到信号为时当发信号和,0,0.10.90如果整个发报过程中和的概率分别是,0.40.610不清当收到和出现的概率分别是和?,试推测原发信号是什么时解,0则发出信号设B1发出信号B,不清收到信号A.10的一个划分或发出信号为与则BB概率论0的概率为而原发信号为不清故收到信号为APABPABP|BAPBPBAPBPBAPBP|||.0.750.10.40.20.60.20.61的概率为而原发信号为不清而收到信号为ABPABP|1|.25.075.0175%(,确切地说有能可以推测原发信号很可因此.0)是的可能概率论3假定患肺结核的人通过　肺结核确诊率问题例,0.95,而未患肺结被诊断出的概率为接受胸部透视,0.002,又设被诊断为有病的概率为核的人通过透视.0.1%现若从该　核的概率为某城市成年居民患肺结,通过透视被诊断为有人来城市居民中随机选出一?,核的概率是多少求这个人确实患有肺结肺结核解,通过胸透诊断有肺结核设ABB,则确实患有肺结核,未患肺结核故所求概率为ABP|APABPBAPBPBAPBPBAPBP|||概率论这一讲我们介绍了全概率公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们.五、小结概率论六、布置作业习题一21,22