概率3-4二维随机变量的的条件分布

概率论第三节条件分布离散型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布课堂练习小结布置作业概率论在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.)()()|(BPABPBAP在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量设有两个r.vX,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.概率论例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高.则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.体重X身高Y体重X的分布身高Y的分布概率论现在若限制1.7Y1.8(米),在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样.例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加.概率论一、离散型随机变量的条件分布实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复.定义1设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y=yj}0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.P{X=xi|Y=yj}=jjipp，i=1,2,…类似定义在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.,ijjPXxYyPYy作为条件的那个r.v,认为取值是给定的，在此条件下求另一r.v的概率分布.概率论条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.例如：i=1,2,…0ijPXxYy11ijiPXxYy概率论例1一射手进行射击，击中目标的概率射击进行到击中目标两次为止.以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数.试求X和Y的联合分布及条件分布.1,pp0p概率论二、连续型随机变量的条件分布设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义.概率论)(),()|(|yfyxfyxfYYX设X和Y的联合概率密度为,,fxy关于的边缘概率密度为,Yfy,XYY则称为在的条件下,YfxyfyYy的条件概率密度.X记为,xxXYYftyftydtdtfy称为在Yy的条件下,的条件分布函数.X记为XYPXxYyFxy或定义2若对于固定0,Yfyy的,概率论求P{X1|Y=y}.例2设(X,Y)的概率密度是其它,00,0,),(yxyeeyxfyyx解1|)|(dxyxfYX为此,需求出)|(|yxfYX1PXYy概率论由于于是对y0,)(),()|(|yfyxfyxfYYXdxyxfyfY),()(0dxyeeyyx0][yxyyeye,yey0,yeyx0x故对y0,P{X1|Y=y}1dxyeyx1yxeye1xoyyy概率论例3设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为其它,01,1),(22yxyxf)|(|xyfXY求概率论例4设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到X=x(0x1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y的概率密度.概率论我们已经知道，设(X,Y)是连续型r.v，若对任意的x,y,有)()(),(yfxfyxfYX则称X,Y相互独立.由条件密度的定义：可知，当X与Y相互独立时，),()|(|yfxyfYXY也可用此条件判别二维连续型r.v(X,Y)的两个分量X与Y是否相互独立.)(),()|(|xfyxfxyfXXY)(),()|(|yfyxfyxfYYX)()|(|xfyxfXYX概率论这一节，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布.请课下通过练习进一步掌握.四、小结概率论五、布置作业习题三8