专题-数列求和

数列—数列求和（专题一）[键入文字]1/8专题一数列求和一、直接求和法（或公式法）将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n项和公式求得.①等差数列求和公式：11122nnnaannSnad②等比数列求和公式：11111111nnnnaqSaqaaqqqq（切记：公比含字母时一定要讨论）常见数列求和11+2+3+=(1)2nn…n21+3+5+=n…+(2n-1)2+4+6+=(1)nn…2n2222(1)(21)1236nnnn23333(1)1232nnn例设数列2211,(12),(122)122++n…（…2）…的前n项和nS.练习1.数列{}na的前n项和为nS，若21()nnSanN,则12231111nnnTaaaaaa…的结果可以化为().1.14nA1.14nB21.(1)34nC21.(1)32nD2.（07高考山东文18）设{}na是公比大于1的等比数列，nS为数列{}na的前n项和．已知37S，且123334aaa，，构成等差数列．（1）求数列{}na的等差数列．（2）令31ln12nnban，，，，求数列{}nb的前n项和T．数列—数列求和（专题一）[键入文字]2/8解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2aaaaaa，解得22a．设数列{}na的公比为q，由22a，可得1322aaqq，．又37S，可知2227qq，即22520qq，解得12122qq，．由题意得12qq，．11a．故数列{}na的通项为12nna．（2）由于31ln12nnban，，，，由（1）得3312nna3ln23ln2nnbn，又13ln2nnnbb{}nb是等差数列．12nnTbbb1()(3ln23ln2)3(1)ln2.222nnbbnnn故3(1)ln22nnnT．二、错位相减法设数列na的等比数列，数列nb是等差数列，则数列nnab的前n项和nS求解，可用乘公比错位相减法求和。若nnnabc，其中nb是等差数列，nc是公比为q等比数列，令112211nnnnnSbcbcbcbc则nqS122311nnnnbcbcbcbc两式相减并整理即得例求和：(1){n2}nn求数列的前项和.23123(2)nnnSaaaa…数列—数列求和（专题一）[键入文字]3/8练习：1．（07高考全国Ⅱ文21）设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nS．解：（Ⅰ）设na的公差为d，nb的公比为q，则依题意有0q且4212211413dqdq，，解得2d，2q．所以1(1)21nandn，112nnnbq．（Ⅱ）1212nnnanb．122135232112222nnnnnS，①3252321223222nnnnnS，②②－①得22122221222222nnnnS221111212212222nnn1111212221212nnn12362nn．小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列nc的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.2.已知数列{na}的前n项和21(),2nSnknkN其中8nS且的最大值为.(1)确定常数k,并求na;(2)求数列{9-22nna}的前n项和.数列—数列求和（专题一）[键入文字]4/83.设数列na满足211233333nnnaaaa…，a*N．（Ⅰ）求数列na的通项；（Ⅱ）设nnnba，求数列nb的前n项和nS．解(I)2112333...3,3nnnaaaa221231133...3(2),3nnnaaaan1113(2).333nnnnan1(2).3nnan验证1n时也满足上式，*1().3nnanN(II)3nnbn，23132333...3nnSn①②①-②：231233333nnnSn1133313nnn，111333244nnnnS三、裂项求和法形如11nnaa类型的数列求和，其中na为等差数列.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.（1）1111nnkknnk，特别地当1k时，11111nnnn再如1111(21)2122121nnnn……（2）11nknknkn，特别地当1k时111nnnn例1.在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.解：∵211211nnnnnan∴)111(82122nnnnbn（裂项）23413132333...3nnSn数列—数列求和（专题一）[键入文字]5/8∴数列{bn}的前n项和)]111()4131()3121()211[(8nnSn（裂项求和）＝)111(8n＝18nn例2.求数列,11,,321,211nn的前n项和.解：设nnnnan111（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）＝)1()23()12(nn＝11n练习：1求数列22221111,,,12243648…的前n项和.2.(2010•山东)已知等差数列na满足37a，5726aa，na的前n项和为nS.（1）求na及nS；（2）令21(),1nnbnNa求数列{}nb的前n项和.3.设数列的前n项和为nS，点(,)()nSnnNn均在函数32yx的图像上.(1)求数列na的通项公式；数列—数列求和（专题一）[键入文字]6/8（2）设13,nnnbaanT是数列nb的前n项和，求nT.四倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例：已知函数222xxfx（1）证明：11fxfx；（2）求128910101010ffff的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，1928551101010101010ffffff128910101010Sffff令982110101010Sffff则两式相加得：192991010Sff所以92S.小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加数列—数列求和（专题一）[键入文字]7/8法求和.练习：1.求222222222222123101102938101的和．分析：由于数列的第k项与倒数第k项的和为常数1，故采用倒序相加法求和．解：设222222222222123101102938101S则222222222222109811012938101S．两式相加，得2111105SS，．2．在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值.解：设1032313logloglogaaaSn由等比数列的性质qpnmaaaaqpnm（找特殊性质项）和对数的运算性质NMNMaaalogloglog得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn（合并求和）＝)(log)(log)(log6539231013aaaaaa＝9log9log9log333＝10五、分组求和法形如{ab}nn形式的数列，其中{}{}nnab、是等差或等比数列或能够转化为能够求和的数列，可采用分组求和法，再合并.例.数列na的通项公式321,{}.nnnnana求数列的前n项和S练习：求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得数列—数列求和（专题一）[键入文字]8/8)23741()1111(12naaaSnn（分组）当a＝1时，2)13(nnnSn＝2)13(nn（分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan六、并项求和法：针对一些特殊的数列，将其某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的前n项和时，可将这些项放在一起先求和.例、已知数列na的前n项和11234561nnSn，求100S.解：1001234569910015050S小结：并项求和法的关键是寻找哪些项合并在一起就具有某种特殊的性质，一旦找到问题就可以顺利的解决.练习：（1）若2[(1)]nnan，nS为其前n项和，则10S=，99S=.(2)222222100999897+21=nS….