1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.1分类计数原理与分步计数原理问题剖析问题1要完成什么事情完成这个事情有几类方案每类方案能否独立完成这件事情每类方案中分别有几种不同的方法完成这件事情共有多少种不同的方法两类能26种10种26+10=36种或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？请思考:问题1：用一个大写的英文字母用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号假如你从平川到兰州，请问你共有多少种不同的走法？客车每天有3个班次，火车每天有2个班次，可以坐直达客车或直达火车，客车1客车2客车3火车1火车2平川兰州分析：完成从平川到兰州这件事有2类方案，所以，从平川到兰州共有3+2=5种方法.问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征？1、都是要完成一件事2、用任何一类方法都能直接完成这件事3、都是采用加法运算你能总结出这类问题的一般解决规律吗？完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:A大学B大学生物学化学医学物理学工程学数学会计学信息技术学法学如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?变式：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:A大学B大学生物学化学医学物理学工程学数学会计学信息技术学法学如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?C大学机械制造建筑学广告学汉语言文学韩语N=5+4+5=14(种)如果完成一件事情有3类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事情有种不同的方法N=m1+m2+m3探究1如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。……在第n类方案中有mn种不同的方法，nmmmN21引例1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？变换：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？分析：完成给教室里的座位编号编号这件事分两步完成：第1步：先确定一个英文字母第2步，后确定一个阿拉伯数字字母数字得到的号码123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9树形图ABB1B2B3B4B5B6B7B8B9CC1C2C3C4C5C6C7C8C9DD1D2D3D4D5D6D7D8D9EE1E2E3E4E5E6E7E8E9FF1F2F3F4F5F6F7F8F9变换：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？分析：完成给教室里的座位编号这件事需要两个步骤，第1步，确定一个英文字母，有6种不同方法；第2步，确定一个阿拉伯数字，有9种不同方法；所以，编号共有6×9=54种方法.例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？例3、长征的部分电话号码是0943665××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?变式:若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?094366510101010×××=104分析:分析:=504010987×××完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.N=m+n分类加法计数原理：完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n分步乘法计数原理：种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法。nmmmN21完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点不同点注意点用来计算“完成一件事”的方法种数每类方案中的每一种方法都能______完成这件事每步_________才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）类类相加步步相乘类类独立步步相依独立依次完成不重不漏步骤完整分类完成分步完成解：从书架上任取1本书，例3书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放着3本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法。根据分类加法计数原理，不同取法的种数是：N=4+3+2=9.（1）从书架上任取1本书，有几种不同的取法？有三类方法：（2）从书架上的第1、2、3层各取1本书，有几种不同的取法？例3书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放着3本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。（1）从书架上任取1本书，有几种不同的取法？解：从书架的第1，2，3层各取1本书，第1步：从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步：从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步：从第3层取1本体育书，有2种方法。根据分步计数原理，不同取法的种数是：N=4×3×2=24.可以分成三个步骤完成：解答计数问题的一般思维过程：完成一件什么事如何完成这件事利用加法原理进行计数方法的分类过程的分步利用乘法原理进行计数例4要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？甲乙丙解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法。根据分步计数原理，不同挂法的种数是：N=3×2=6.思考：还有其他解答本题的方法吗？例4要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？甲乙丙解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选出2幅，有3种选法；（“甲、乙”，“甲、丙”，“乙、丙”）第二步，将选出的2幅画挂好，有2中挂法根据分步计数原理，不同挂法的种数是：N=3×2=6.变式要从甲、乙、丙、丁、戊5幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？甲乙丙丁戊解：从5幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法。根据分步计数原理，不同挂法的种数是：N=5×4=20.例5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4=种.54（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×５×５×５=种.45例6.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。解：首字符共有7+6＝13种不同的选法，答：最多可以给1053个程序命名。中间字符和末位字符各有9种不同的选法根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法例7.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任选一个来占据。第1位第2位第3位第100位4种4种4种4种……解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有100410044444＝个种不同的RNA分子.例8.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成，问（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？第1位第2位第3位第8位2种2种2种2种……如00000000，10000000，11111111.开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A例9.计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束。而第步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成；第二步可由子模块4或子模块5来完成。因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3*2=6。如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178（次）2）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172。例10.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?１.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ABCDA1B1C1D1思考解:如图,从总体上看,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,C1ABCDA1D1B1第一类(A—B):m1=1×2=2条第二类(A—D):m2=1×