华东师范大学《数学分析(第四版)》7-1

返回后页前页在第一章与第二章中,我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理、柯西收敛准则、致密性定理.这几个定理反映了实数的一种特性,这种特性称之为完备性.而有理数集是不具备这种性质的.在本章中,将着重介绍与上述四个定理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石.§1关于实数集完备性的基本定理返回返回后页前页一、区间套定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性返回后页前页定义1nnab{[,]}:设闭区间列满足如下条件111.[,][,],1,2,,nnnnababn2.lim()0,nnnba{[,]},.nnab则称为闭区间套简称区间套定义1中的条件1实际上等价于条件1221.nnaaabbb一、区间套定理返回后页前页nnaaaa121nnbbbb121定理7.1(区间套定理){[,]},nnab若是一个区间套,则存在唯一的实数使[,],1,2,,nnabn或者.],[}{1nnnbaxlimlim.nnnnab注：返回后页前页[,](;).nnabU则任给0,存在N,1,2,.n当nN时,推论设{[an,bn]}是一个区间套,[,],nnab注1该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记.注2区间套定理中的闭区间若改为开区间,那么结论不一定成立.例如对于开区间列,显然10n，返回后页前页但是定理1中的是不存在的,这是因为110,.nn111.0,0,,1,2,,1nnn12.lim00.nn例1.用区间套定理证明连续函数根的存在性定理返回后页前页定义2设S为数轴上的非空点集,为直线上的一个定点(当然可以属于S,也可以不属于S).若对于任意正数,在(,+)中含有S的无限个点,10Sn比如:是的一个聚点;二、聚点定理与有限覆盖定理则称是S的一个聚点.US(;),无限集即11,1(1).nSn是的两个聚点返回后页前页为了便于应用,下面介绍两个与定义2等价的定义.SRR,.0,设若对于任意定义2定义2″若存在各项互异的收敛数列,}{Sxn.lim的一个聚点称为那么极限Sxnn下面简单叙述一下这三个定义的等价性.若设S是[0,1]中的无理数全体,则S的聚点集合(;),.USS那么称是的一个聚点为闭区间[0,1].返回后页前页定义2定义2由定义直接得到.定义2定义2因为0,(;)0,US那么111,(;1);xUS取2122min1/2,,(;);xxUS取;.1min1/,,(;);nnnnnxxUS取返回后页前页{}.,{}nnnxSx这样就得到一列由的取法两两,10nxnnlim.nnx由此互异,并且定义2定义2由极限的定义可知这是显然的.定理7.2(魏尔斯特拉斯Weierstrass聚点定理)返回后页前页我们再次使用区间套定理来证明聚点定理,请务必证因为S为有界点集,所以存在正数M,使11[,],[,][,].SMMabMM且记现将[a1,b1]等分为两个子区间[a1,c1],[c1,b1],1111111.[,],[,]2abcaccb其中那么中至少有一个区间含有S的无限多个点.记该区间为[a2,b2].要注意在区间套的构成中所建立的性质(iii).返回后页前页],,[],[2211baba显然有22111().2babaM再将[a2,b2]等分为两个子区间.同样至少有一个子区间含有S的无限多个点,将这个区间记为[a3,b3].112233[,][,][,],ababab显然又有.2)(212233Mabab返回后页前页nnnMba1(ii)0;2(iii)每个闭区间[an,bn]均含S的无限多个点.无限重复这个过程,就可得到一列闭区间{[,]},nnabnnnnababn11(i)[,][,],1,2,;,[,],nnab由区间套定理存在惟一的.,2,1n满足返回后页前页1:,,N由定理的推论对于任意的正数存在使[,](;),NNabU所以由所建立的性质(iii)(;)[,]NNUSabS无限集.这就证明了是S的一个聚点.定理7.2有一个非常重要的推论(致密性定理).该定理在整个数学分析中,显得十分活跃.返回后页前页证设{xn}为有界数列,若{xn}中有无限项相等,取这些相等的项可成一个子列.该子列显然是收敛若数列{xn}不含有无限多个相等的项,则{xn}作为点集是有界无限点集.由聚点原理,可设是{xn}的一个推论(致密性定理)有界数列必有收敛子列.的.一个各项互异的子列收敛于.聚点,那么再由定义2,可知{xn}中有knx返回后页前页定义3设S为数轴上的一个点集,H为一些开区间H((,)).的集合即中的元素均为形如的开区间xSHx,(,),(,),若对于任意都存在使则称H是S的一个开覆盖.若H是S的一个开覆盖,并且H中的元素(开区间)仅有有限个,则称H是S的一个有限开覆盖.11,1,2,...(0,1)2Hnnn例如:(1)是区间的一个开覆盖.返回后页前页定理7.3(海涅－博雷尔有限覆盖定理)设H是闭区间[a,b]的一个开覆盖,则从H中可选海涅(Heine,H.E.1821-1881,德国)博雷尔(Borel,E.1871-1956,法国)出有限个开区间,构成闭区间[a,b]的一个子覆盖.证明：本定理证明方法多种，这里采用区间套定理。返回后页前页若定理不成立,也就是说[a,b]不能被H中任何再将[a1,b1]等分成两个子区间,其中至少有一个有限个开区间所覆盖.将区间[a,b]等分成两个子区间,那么这两个子区间中至少有一个不能被H中任意有限个开区间所覆盖,设该区间为[a1,b1].不能被H中有限个开区间所覆盖.设该区间为ababbaba11111[,][,],().2并且显然有返回后页前页11(i)[,][,],1,2,;nnnnababn(iii)对每一个闭区间[an,bn],都不能被H中有限个满足下列三个性质:221122111[,][,],().2ababbaba并且[a2,b2].同样有将上述过程无限进行下去,可得一列闭区间[,]nnab1(ii)()0,2nnnbaba;n返回后页前页11[,],[,],(,),abHabH因覆盖了故存在0,.min{,},7.1使（）取由定理这就是说,[aN,bN]被H中的一个开区间所覆盖,[,],1,2,.nnabn,由区间套定理,存在惟一的使开区间所覆盖.0,,[,](;)(,).NNNabU论存在使的推矛盾.返回后页前页1(1)12...1Hnn比如开区间集，，，覆盖了区间(0,1).很明显,H中的任何有限个开区间均不注定理7.3中的闭区间不可以改为开区间.能覆盖(0,1).例2：用有限覆盖定理证明：闭区间上连续函数的有界性定理。返回后页前页我们已经学习了关于实数完备性的六个定理,它三、实数完备性定理的等价性确界定理单调有界定理区间套定理下面证明这六个定理是等价的.们是:聚点定理（致密性定理）有限覆盖定理柯西收敛准则返回后页前页柯西收敛准则区间套定理聚点定理确界定理有限覆盖定理单调有界定理654321返回后页前页例3用有限覆盖定理证明聚点定理.证设S是无限有界点集,则存在M0,使得[,].SMM,,[,],SSxMMx若的聚点集合那么任给xxx.0(都不是聚点这就是说存在表示与有xxxxS),(,).关使得有限集在上图的等价性关系中,仅和尚未证明.这里46给出的证明,请大家自己阅读教材.46返回后页前页很明显,H覆盖了闭区间[–M,M].根据有限覆盖{(,)|[,],0,xxxHxxxMM(,)}.xxxxS有限集设开区间集0{(,)|1,2,,}iiiiHxxin由H的构造,有限集，Sxxiiii),(所以有限集，SxxSMMSiiiini),(],[1矛盾.定理,存在H中的有限子覆盖覆盖[-M,M]，进而覆盖S.