七年级数学思维探究(19)乘法公式(含答案)

19．乘法公式解读课标多项式的形式是多种多样的，两个有一定关联的特殊多项式相乘，结果常常简洁而优美．乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性又有实用性的具体结论，学习乘法公式应注意：1．理解公式，掌握公式的结构特征；2．了解公式的变形与发展；3．灵活运用公式，既能正用、又能逆用，而且还能适当变形或重新组合，综合运用公式；4．把握公式的几何意义，领悟数形结合的思想．问题解决例1如果正整数x，y满足方程2264xy，则这样的正整数对,xy的个数是______．试一试22ababab，ab以ab的奇偶性相同，这个十分简单的结论是解本例的基础．例2已知a、b、c满足227ab，221bc，2617ca则abc的值等于（）A．9B．3C．4D．5试一试由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．例3计算（1）2481621212121211（2）2222004200312004200220042004（3）3345.113.945.113.931.2试一试对于（1），通过对待求式恰当变形，使之符合平方差公式的结构特征；对于（2），用字母表示数，将数值计算转化为式的计算．例4老师在黑板上写出三个算式225382，229784，22153827，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：22115812，22157822……（1）请你再写出两具有上述规律的版式；（2）用文字写出上述算式反映的规律；（3）证明这个规律的正确性．试一试由特殊到一般，用字母表示算式反映的规律并证明．例5（1）已知222246140xyzxyz，求xyz的值．（2）222651，225372，26531378，221378373任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？分析对于（1），由平方和联想到完全平方公式及其逆用，利用配方求出x，y，z，的值：对于（2），从试验入手，然后给出一般情形的证明．解（1）由条件得2221230xyz，1x，2y，3z，原式2．（2）一般地，设22mab，22ncd，则2222mnabcd22222222acbdbcad2222222222acbdabcdbcabcdad22acbdbcad或22acbdbcad智慧数例6整数问题常是饶有兴趣又发人思考的，若对整数作一些特殊的规定，就会得到一些特殊定义下的新数，并由此产生令人思考的问题，我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数称为“智慧数”，如221653，则16称为智慧数．请判断：在自然数列中，从数1起，第2000个智慧是哪个数？分析与解要确定第2000个智慧数，应先找到智慧数的特征及分布规律．因为22211kkk，显然，每个大于4，并且是4的倍数的数也是智慧数．由此可知，被4除2的偶数都不是智慧数．所以，自然数列中最小的智慧数是3，第2个智慧数是5，从5起，依次是5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，20；…即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．根据这个结论，我们容易知道：因为2000136661，所以第1999个智慧数是466642668，故第2000个智慧数是2669．数学冲浪知识技能广场1．若2220aabb，则代数式422aababab的值为．2．已知28mn，22mn，则22mn=______．3．已知22210xyxy，则999xy=______．4．已知222450abab，则2243ab的值为_______．5．已知以a、b、x、y满足3axby，5aybx，则2222abxy的值为______．6．如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，上述操作所能验证的等式是（）abbaA．22abababB．2222abaabbC．2222abaabbD．2aabaab7．已知12020ax，11920bx，12120cx，则代数式222abcabbcac的值是（）A．4B．3C．2D．18．已知1xy，222xy，那么44xy的值是（）A．4B．3C．72D．529．若a、b为有理数，且2222440aabba，则22abab=（）A．8B．16C．8D．1610．在2004，2005，2006，2007这四个数中，不能表示为两个整数平万的数是（）A．2004B．2005C．2006D．200711．计算（1）2486717171711（2）224690123461234512347（3）222200520042005200320052005212．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．思维方法天地13．已知200720052006aa，那么2220072005aa=_____．14．已知4ab，240abc，则ab=______．15．杨辉三角是一个由数字排列成昀三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示nab（此处0n，1，2，3，4，5，6）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．11112113311464115101051161520156101ab1abab2222abaabb3322333abaababb4432234464abaabababb554322345510105abaababababb6654223245651520156abaabababababb……上图的构成规律你看懂了吗？请你直接写出7ab______．杨辉三角还有另一个特征（1）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与______积．（2）由此你可写出511=______．（3）由第_____行可写出811=______．16．如果2312abc，且222abcabbcca，则23abc的值是（）A．12B．14C．16D．1817．如果1xy，223xy，那么33xy的值为（）A．2B．3C．4D．518．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）A．16种B．14种C．12种D．10种19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如22420，221242，222064，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？20．已知0abc，2221abc（1）求abbcca的值；（2）求444abc的值．应用探究乐园21．（1）证明：奇数的平方被8除余1．（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．22．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？19乘法公式答案问题解决例12对64xyxy，0xyxy且xy与xy的奇偶性相同，得322xyxy，164xyxy，则1715xy，106xy例2B三等式相加得：2223110abc3a，1b，1c例3（1）原式2481621212121212112248162121212121132211322（2）设200420003a，则原式222111aaa2211221aa（3）原式2245.113.945.145.113.913.945.113.945.113.9245.113.93481例4（1）略（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数（3）设m、n为整数，22212141mnmnmn当m、n同奇或同偶，4mn是8的倍数，当m、n一奇一偶，41mn是8的倍数．数学冲浪1．02．53．1由条件得210xy4．75．34原式22222222axaybxby22axbyaybx6．A7．B原式22212abbcca8．C9．B2220aba10．C形如4k或21k的数为“智慧数”11．（1）167；（2）24690；（3）1212．设这个自然为x，由题意得224445nmxx①②②-①得2289nm，即891nmnm从而891nmnm，解得4544nm故245441981x13．4016原式220072005220072005aaaa14．0把4ab代入240abc得2220bc，2b，0C，242a，0ab15．略（1）11（2）161051（3）9；21435888116．B由222abcabbcac，得222102abbcac，从而2abc17．C22222xyxyxy1xy，33224xyxyxxyy18．C提示：22009741xyxy有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：1,7,41,49,2872009,1,7,41,49,287,20092009,287,49,41,7,1,2009,287,49,41,7,1xyxy故,xy共有12组不同的表示19．（1）22284786，2220124503504502故28和2012都是神秘数．（2）22222421kkk，为4的倍数．（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数，但2221218nnn，故两个连续奇数的平方差不是神秘数20．（1）2222222abcabcabbcac，得12abbcca（2）由12abbcca，得214abbcca，即222222124abbccaabcabc得22222214abbcca又2221abc，平方得4442222222221abcabbcca故44422222211121242abcabbcca21．（1）221411nnn8|41nn，故奇数的平方被8除余1（2）假设2006可以表示为10个奇数的平方之和，也就是2222123102006xx