选修4-4平面直角坐标系中的伸缩变换

以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，设P（x,y）为巨响发生点，由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，yxBACPo则A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)故|PA|－|PB|=340×4=1360解：由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线左支上，12222byax)0(13405680340568010201020,6802222222222xyxacbca故双曲线方程为10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.m10680用y=－x代入上式，得，∵|PA||PB|,5680x根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：（1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。若我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点Ｐ的位置，这种方法与用直角坐标刻画点Ｐ的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？平面直角坐标系中的伸缩变换思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?xO2y=sinxy=sin2xy问题分析：在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，就得到正弦曲线y=sin2x.12上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来，得到点P′(x′,y′).坐标对应关系为：12x’=xy’=y121通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。问题分析：设点P（x,y）经变换得到点为P′(x′,y′)x′=xy′=3y2通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。2在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。问题分析：（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。问题分析：在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.12设点P（x,y）经变换得到点为P′(x′,y′)x′=xy′=3y123通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。3定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换'(0):'(0)xxyy的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。4注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。0,01.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x’=xy’=3y后的图形。（1）2x+3y=0;(2)x2+y2=1练习：2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=13.在同一直角坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为x’2－9y’2=1，求曲线C的方程并画出图形。x’=3xy’=y思考：在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？'(0):'(0)xxyy补充练习：1求下列点经过伸缩变换yyxx3'2'后的点的坐标：①（1，2）；②（-2，-1）.yyxx21'31'36'9'422yx2曲线C经过伸缩变换后的曲线方程是则曲线C的方程是.yyxxA23'32'yyxxB32'23'xyyxC''1'1'yyxxD3将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（）0222xyx0'4'16'22xyx4曲线变成曲线的伸缩变换是.yyxx'2'yyxx2'2'122yx5在伸缩变换与伸缩变换的作用下，单位圆分别变成什么图形？7在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=18在同一直角坐标系下，经过伸缩变换后,曲线C变为x’2－9y’2=1,求曲线C的方程,并画出图形。yyxx3