线性代数--向量空间

n维向量空间向量组的线性相关性向量组的秩齐次线性方程组非齐次线性方程组第四章向量空间n维向量的概念与运算n维向量空间向量组的线性组合与线性表示第一节n维向量空间维向量。称为实数域上的组成的有序数组个实数naaann,,21（称列向量）或naaa21a（称行向量）记作：),,(a21naaaTnaaa),,(a21也记作个分量的第称为向量其中),2,1(aniiai一、n维向量的概念与运算定义4.1例如)n,,2,1(　　　　　　　　　　　n维行向量第1个分量第n个分量第2个分量向量)3(n解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式),,,(21nTaaaa坐标系时，维向量没有直观的几何形象．n3n确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角)20(机身的仰角)22(机翼的转角)(所以，确定飞机的状态，需用6维向量),,,,,(zyxa维向量的实际意义n,),,(T21naaaan维向量设称为零向量，分量全为零的向量)0,0,0(相等，与称向量）时（则当且仅当banibaii,,2,1ba记作Tnbbbb),,(21），，，（记作0000定义4.2定义4.3TnTnbbbbaaaa)(,),,(2121，，设为：和与规定babaTnnbabababa)(2211,,定义4.4TnTn)kakaka(akakRkaaaa,,,),,(2121的数乘为：与向量规定数，设定义4.5特别地.121的差与称之为写作的负向量。此外称其为有：取bababaaaaaakTn)(),,,(,向量的加减法、数乘运算都按照矩阵的运算法则进行运算注意足下列八条性质：向量加法与数乘运算满，及实数维向量由上述定义，对任意的lkcb,a,n,运算规律akllak)()()6(abba)1()()()2(cbacbaaa0)3(0)()4(aaaa1)5(kbkabak)()7(lakaalk)()8(有了矩阵和向量的定义后，按矩阵的乘法，形如mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式bAX其中mnmnmmnnbbbbxxxXaaaaaaaaaA2121212222111211,,程组。个未知量的齐次线性方方程个，称为为零向量时，即当nmAXb0特别地实数域上的n维向量全体，当定义了Rn满足的一个非空子集，如果是设nRVVaR2VbaV,ba,1kkVa则若对）（则若对）（,,的子空间是就称nRV二、n维向量空间定义4.6定义4.7上述向量的加法及数乘向量运算之后，就称其为为实数域上的n维向量空间。记作空间)3(n解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面dczbyaxzyxrT),,(几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面dczbyaxzyx),,(),,(zyxP),,(zyxrT一一对应为零子空间。的子空间，通常称其是．例4R})0,0,0,0(V24T的子空间是　．例3)0,0,(14RRxxVT的子空间不是．例3RV34RxxT)1,0,(的子空间。是．例niTnniRxxxxR320V4432,,,),,,(Vbaba)2,0,()1,0,()1,0,(对向量的加法不封闭。即V三、向量组的线性组合与线性表示定义4.8由若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组。设a,a,a12s,是n维向量组，skkk,,21是一组实数，s21aaaskkk21则称s21a,a,a是向量组的线性组合。,,-,,=,a,,-,=,a,-,,=aTTT)()()(3191623212314321,)(T3217741=5+3-,,-,aaa例如向量就是这3个向量的一个线性组合。321aaa,,存在一组实数skkk,,21bkkkss21aaa21则称向量b是向量组a,a,a12s,使得也称向量b可由向量组a,a,a12s,线性表示。,s21a,a,ab,设都是n维向量,如果对向量b的线性组合，TT3T2T1(3,5)=,(-2,4)=,(1,1)=(0,1)=,baaa0+3+2=321aaab5+4-=321aaab例如对向量有及还有baaa32123-0+11=的线性组合。是所以321aaab,,而且表示的方法不惟一向量n维向量向量空间小结n维向量的运算n维向量的概念、表示解析几何与线性代数中向量的联系与区别向量空间的概念向量在生产实践与科学研究中的广泛应用思考题,,,),,,(011211nnnxxRxxxxxxV满足设,,,),,,(111212nnnxxRxxxxxxV满足问是不是子空间？为什么？nRVV21,如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．答36维的．若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．第二节向量组的线性相关性向量、向量组与矩阵向量组的线性相关与线性无关向量组线性相关的判定定理维列向量个有对于矩阵mnaAnmij)(aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,,,的列向量组称为矩阵向量组Aa1a2ana2ajana1a2ajan一、向量、向量组与矩阵维行向量个又有矩阵类似地nmaAnmij)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211T1T2TiTmT1T2TiTm向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．T1T2Tm反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个mnnmm,,,,21矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个nmnmTmTT,,,21TmTTB21),,,(21mAbxaxaxann2211线性方程组的向量表示.,,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．如果对给定向量组A：,sa,,aa21存在不全为零的实数skkk,,21(1)02211ssakakaksa,,aa21则称向量组定义4.9否则称之为线性无关。二、向量组的线性相关与线性无关使得021skkk则称向量组,sa,,aa21线性相关；式才成立，时，)(1线性无关。即当且仅当注意(1)任何含有零向量的向量组都线性相关..,相关不是线性无关就是线性对于任一向量组(4)（2）仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分必要条件是两向量的对应分量成比例。其几何意义是两向量共线。（3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。,.32321=520=111=321,,74aaa对向量组例由于321-2===631-520-111--a-aa03212aaa线性相关。不全为零，按定义，，,,a,aa32121-1-即,T3T2T1(1,6,3)=(1,2,3)=(1,1,1)=,,aaa例4.8试判断下列向量组的线性相关性解若存在数321kkk,,使0332211akakak0330620321321321kkkkkkkkk即因为其系数行列式D=11112613380于是方程组只有零解，0321kkk,,a,aa321线性无关。所以,,T322T3,21)b,bb,(1,=)aa,(1,=aaa例4.9试判断下列向量组的线性相关性T324T3,23)d,dd,(1,=),ccc,(1,=aa,044332211axaxaxax解考察按分量写出来，即为（其中a，b，c，d各不相同）0000433323134232221243214321xdxcxbxaxdxcxbxadxcxbxaxxxxx该方程组的系数行列式))()()()()((111133332222cdbdadbcacabdcbadcbadcba4321,a,a,aa由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零即方程组只有零解，从而线性无关。解若存在数321kkk,,(*)0332211akakak使073014420321321321kkkkkkkkk)()()(cba即,T3T2T1(1,14,7)=4,1)(1,-=(1,2,3)=,,aaa例4.10试判断下列向量组的线性相关性因为其系数行列式D=07131442111于是方程组有非零解，即有不全为零数使(*)成立,,a,aa321线性相关。所以tktktk32123,,)(,,,1321123tkkk023321aaa-321,a,aa令显然是它的一个解，计算可知因此线性相关。由（a）代入（b）（c）整理得02033231kkkk另解0ε...εε2211nnkkk证明设有线性无关。T)1,...0,0,0(nT)0,...0,1,0(2T)0,...0,0,1(1例4.11试证n维单位坐标向量组…000100...01000121nkkk即解之得0...21nkkk所以n,...,ε,εε21线性无关。sa,,aa212)(s定理4.1n维向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。sa,,aa21kkks12,,02211ssakakak证明必要性若即存在不全为零的数使得三、向量组线性相关的判定定理线性相关，sisi+iii-iiiiiakkakkakkakkakka11112211kisi01,()不妨设于是即ia可由其余的向量si+i-a,,aa,a111线性表示充分性若有一个向量可由其余的向量线性表示iassi+ii-iialalalalala11112211即那么由系数siilllll,,1,,1121,不全为零，sa,,aa21知向量组线性相关。nssssnnaaa=aaa=aaa=a,,aa21222122121111定理4.2n维向量线性相关的充要条件是齐次线性方程组AX=0有非零解nsnnssaaaaaaaaaA212222111211