四招教你检验分式方程的根

“四招”教你检验分式方程的根“四招”教你检验分式方程的根观察这两道分式方程（1）；（2）3233xxx512552xxx方程（1）两边同乘以，得3x233xx3.x方程（2）两边同乘以，得25x525xx0.x3x方程（1）中未知数的取值范围是，方程（2）中未知数的取值范围是5.2x在去分母将分式方程转化为整式方程后，未知数的取值范围扩大到了全体实数，这时，若所得整式方程的解不在扩大的部分，那么所得的解就是原分式方程的解，如方程（2）的解；若整式方程的解恰好在扩大的部分，那么此解就是原分式方程的增根，如方程（1）的解.由此可见，增根是由于在分式方程转化为整式方程的变形中，未知数的取值范围扩大而导致的，这是增根产生的原因.虽然在解分式方程时可能产生增根，但它可以通过“检验”找出来，那么如何对分式方程进行检验呢？第一招代入验根法将所得的根代入原方程的左、右两边，若左边等于右边，则此根即为原方程的根，否则，此解为原方程的增根.例1.方程的解为122xx____.x解：方程两边同乘以，得2xx22.xx4.x检验：把代入原方程，得4x左边11.422右边21.42左边=右边，是原方程的解.4x点睛：运用代入检验法，不仅能检验出原方程的增根，而且可以检验出求得的根是否正确.第二招：公分母检验法把解得的根代入所乘的最简公分母中进行判断，使公分母为零的值即为原方程的增根，否则即为原方程的根.例3.解方程22.33xxx解：方程两边同乘以，得3x223.xx4.x把代入，得4x3x310.x是原方程的解.4x点睛：公分母检验法比较简单，因此被广泛地应用.第三招：无需检验法虽然在解分式方程时可能产生增根，但对于某些特殊的分式方程，我们可以用合并法（把同分母分式合并），从而避免分式方程产生增根，因此用这种方法解分式方程无需验根.例4.解方程831.77xxx解析：原方程即8370777xxxxx60.7xx6.x所以原方程解为.第三招：无需检验法点睛：由于运用了合并法，从而避免了增根的产生，因此运用合并法解分式方程不需要检验，除了运用合并法可以避免分式方程产生增根外，还可以运用换元法避免分式方程产生增根。第四招：根据取值范围检验例5.已知为实数，且，那么的值为多少？x2232xxxx2xx解析：设，原方程变形为2yxx32.yy即，232y解得123,1.yy经检验，都是原方程的根，123,1yy但221124xxx1,4是原方程的根.1y点睛：本题有意识的设置了一个“陷阱”，如果不注意的范围，容易中计，导致错误.2xx小结解分式方程的步骤（1）去分母求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可产生增根..（2）验根方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程画为整式方程，若遇到互为相反数时，不要忘了改变符号.验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，也就是原方程无解。否则这个根就是原分式方程的根..