同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式

1线性代数教学教案第二章方阵的行列式授课序号01教学基本指标教学课题第二章第一节行列式的定义课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点n阶行列式的定义、几类特殊行列式的值教学难点n阶行列式的定义参考教材同济版《线性代数》作业布置课后习题大纲要求理解n阶行列式的定义，熟悉一些特殊行列式的值；会用对角线法则计算2阶、3阶行列式。教学基本内容一、行列式的定义：排列：从1,2,,n中任意选取r个不同的数排成一列，称为排列.全排列：将1,2,,n这n个不同的数排成一列，称为n阶全排列，也简称为全排列.标准排列：12n也是n个数的全排列，而且元素是按从小到大的自然顺序排列的，这样的排列称为标准排列.逆序与逆序数：在一个排列中，如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列12niii的逆序数记为12niii.标准排列的逆序数为0.奇排列与偶排列：逆序数为偶数的排列，称为偶排列；逆序数为奇数的排列，称为奇排列.n阶行列式：由2n个元素(,1,2,,)ijaijn排成n行n列的正方形的数表：111212122212nnnnnnaaaaaaaaa，由这个数表所决定的数2121212()12(1)nnnpppppnppppaaa称为由2n个元素(,1,2,,)ijaijn构成的n阶行列式，记为111212122212nnnnnnnaaaaaaDaaa，即：1212121112121222()1212(1)nnnnnpppnppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa.其中12nppp表示对所有的n阶全排列12nppp求和,数,1,2,,ijaijn称为行列式的,ij元素，其中第一个下标i称为元素ija的行标，第二个下标j称为元素ija的列标.方阵A的行列式:记矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA，则行列式通常也称为方阵A的行列式，记为A.有时为了表明行列式是由元素ija构成的，也简记为det()ijaA、ijnna或ijna.二阶行列式:1212121112()12112212212122(1)ppppppaaaaaaaaaa.三阶行列式:123123123111213()212223123313233(1)pppppppppaaaAaaaaaaaaa112233132132122331132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa.二、三阶行列式也可借助于对角线法则来记忆：11122122aaaa3二、几类特殊行列式：下三角行列式：112122112212000nnnnnnaaaaaaaaa.上三角行列式：11121n22211220=00nnnnnaaaaaaaaa.对角行列式：112211220000=00nnnnaaaaaa.斜下三角方阵的行列式：斜下三角方阵1n2,121,1000nnnnnnnaaaaaaA，则1212,11=1nnnnnaaaA.三、主要例题：例1设122331121A，求A.例2证明521641642335aaaaaa是6阶行列式666ijDa的一项，并求这项应带的符号.例3计算下三角方阵11212212000nnnnaaaAaaa的行列式A（这样的行列式称为下三角行列式）.例4计算上三角方阵11121n222000nnnaaaaaAa的行列式A（这样的行列式称为上三角行列式）.例5设斜下三角方阵1n2,121,1000nnnnnnnaaaAaaa，证明：1212,11=(1)nnnnnAaaa.4授课序号02教学基本指标教学课题第二章第二节行列式的性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点行列式的性质、方阵可逆的充要条件教学难点行列式的性质参考教材同济版《线性代数》作业布置课后习题大纲要求理解n阶行列式的性质，会用性质计算简单的n阶行列式；理解利用行列式判断方阵可逆的充分必要条件。教学基本内容一、行列式的性质：转置行列式：将行列式111212122212nnnnnnnaaaaaaDaaa的各行元素换为同序号的列元素，所得到的行列式1121112222T12nnnnnnnaaaaaaDaaa称为行列式nD的转置行列式.性质1行列式nD与它的转置行列式TnD相等.性质2互换行列式的两行（或两列），行列式变号.以ir表示行列式的第i行，以ic表示行列式的第i列，交换第i、j行记为ijrr，交换第i、j列记为ijcc.推论1若行列式中有两行（或两列）对应元素相等，则行列式等于零.性质3若行列式的某一行（或列）有公因子k，则公因子k可以提到行列式记号外面；或者说，用k乘行列式的某一行（或某一列），等于用k乘以该行列式，即111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakakaaaaaaaaa.第i行（或列）乘以数k记作ikr（或ikc），第i行（或列）提取公因子k记作1irk（或1ick）.5定理1设A是n阶方阵，则等式nkkAA成立.推论2若行列式的某一行（或某一列）元素全为零，则行列式的值为零.推论3若行列式某两行（或两列）元素对应成比例，则行列式为零.性质4行列式的拆分定理11121111211112111221212121212nnnkkkkknknkkknkkknnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa.性质5行列式某一行（或某一列）的k倍加到另一行（或另一列）的对应元素上去，行列式的值不变.即111211112112121122121212nniiiniiinjijijninjjjnnnnnnnnnaaaaaaaaaiaaaiakaakaakajaaajaaaaaa.第i行（或第i列）乘以数k到第j行（或第j列）上记作jirkr（或jickc）.二、方阵可逆的充要条件定理2n阶方阵A可逆的充分必要条件是0A.定理3设A、B是两个n阶方阵，则ABAB.推论4设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B满足ABE（或者BAE），则n阶方阵A可逆，且1A=B.三、主要例题：例11211211211212461222322312361236912233343234234.例2112233112331123322331122311223113311223312233122ababababaababbabababababaababbabababababaababbab6例3计算行列式022213042113160731.例4计算行列式2111121111211112D.例5计算行列式7111141111211115D.例6设矩阵1111kkkkaaaaA，1111ttttbbbbB，1111tkktccccC，若矩阵ACDOB，证明：DAB.例7计算行列式22nnababDcdcd，其中未写出的元素为0.例8判断下列矩阵是否可逆：(1)111111111A；(2)213101121B.例9设矩阵ACDOB，其中A、B分别为m阶、n阶可逆阵，求1D.例10设n阶方阵A满足22AE，证明矩阵AE可逆，并求1AE.7授课序号03教学基本指标教学课题第二章第三节行列式按行（列）展开课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点行列式按行（列）展开教学难点行列式按行（列）展开参考教材同济版《线性代数》作业布置课后习题大纲要求理解余子式、代数余子式的概念和性质；理解行列式按行（列）展开的法则；会用行列式的性质和按行（列）展开的法则计算简单的n阶行列式。教学基本内容一、余子式与代数余子式：1.余子式：对任意的1,ijn，在n阶行列式A中划去第i行和第j列后剩下的1n阶行列式称为,ij元素ija的余子式，记为ijM．2.代数余子式：记(1)ijijijAM，ijA称为n阶行列式A的,ij元素ija的代数余子式.二、行列式按行（列）展开：定理设行列式111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA，则有11221niiiiininikikkaAaAaAaAA1,2,,in，称为行列式A按第i行展开，以及11221njjjjnjnjkjkjkaAaAaAaAA1,2,,jn，称为行列式A按第j列展开.推论设ijA,1,2,,ijn是行列式A中元素ija的代数余子式，则811220,ijijinjnaAaAaAij或11220,ijijninjaAaAaAij.有关于代数余子式的重要性质：1,0,.nikjkijkAijaAAij或1,0,.nkikjijkAijaAAij其中1,0,.ijijij是克罗内克（Kronecker）符号.三、主要例题：例1计算行列式3111142203000312.例2计算行列式1111201115335112.例3证明范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111nnnjiijnnnnnxxxVxxxxxxxx，其中记号“”表示连乘积.9授课序号04教学基本指标教学课题第二章第四节矩阵求逆公式与克莱默法则课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点伴随矩阵、求逆公式、克莱默法则教学难点伴随矩阵的性质参考教材同济版《线性代数》作业布置课后习题大纲要求理解伴随矩阵的概念和性质；熟悉矩阵的求逆公式，会用伴随矩阵求逆矩阵；理解克莱默法则。教学基本内容一、伴随矩阵与求逆公式：伴随矩阵：设ijaA是n阶方阵，ijA是A的,ij元素ija的代数余子式，则矩阵1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵.引理设方阵*A是n阶方阵A的伴随矩阵，则必有**AAAAAAAEA.定理1如果n阶方阵A可逆，则有求逆公式1*1AAA.二、克莱默法则：定理2（Cramer（克莱默）法则）：如果线性方程组AX的系数行列式不等于零，即0A，则方程组有10唯一解：1212,,,nnDDDxxxAAA，其中(1,2,,)jDjn是把系数行列式的第j列元素用的元素代替后得到的行列式.定理3如果线性方程组AX的系数行列式不等于零，即0A，则方程组一定有解，且解是唯一的.定理4如果线性方程组AX无解或有无穷多解，则它的系数行列式0A.定理5如果齐次线性方程组0AX的系数行列式不等于零，即0A，则它只零解120nxxx.定理6如果齐次线性方程组0AX有非零解，则必有它的系数行列式等于零，即=0A.三、主要例题：例1设二阶矩阵abcdA，因为=abadbccdA，所以当0adbc时，矩阵A可逆.且由于A的伴随矩阵*dbcaA，所以1*11dbcaadbcAAA.例2判断矩阵123231312A是否可逆，若可逆，用求逆